Calculo de limites

Abílio Vitorino: Cálculo de limites de funções

LIMITES DE
FUNÇÕES

Abílio Vitorino

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Abílio Vitorino: Cálculo de limites de funções

LIMITES DE FUNÇÕES ENVOLVENDO POLINOMIAIS, IRRACIONAIS, EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS

Nota: não há formas universais para calcular limites (ao nível do 12.º ano atual), mas critérios gerais que ajudam no cálculo de limites, ou alguns teoremas e ou limites de referência por serem indeterminações.

( +∞ − ∞ )

1. Indeterminação do tipo

a. Se for obtida pela função polinomial, deve-se aplicar o teorema:

lim ( a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 ... + an ) = ( a0 x n ) ou lim x →+∞

x →+∞

x →−∞

x →−∞

lim ( a0 x n + a1 x n −1 + a2 x n − 2 ... + an ) = ( a0 x n ) lim Exemplo:
( +∞−∞ )

lim ( 2 x 3 − 3 x ) =

x →+∞

lim ( 2 x 3 ) = +∞

x →+∞

b. Pelo menos uma das parcelas é uma função irracional:
Deve-se multiplicar e dividir pelo conjugado da expressão que gera a indeterminação:
Exemplo:

(

)

( +∞−∞ )

= lim x + 1 − x x →+∞

2

( x + 1 − x )( x + 1 + x )
=
lim
( x +1 + x)
2

x →+∞

2

2

expressão (fundamental que se faça), resulta lim

x →+∞

(

lim

x →+∞

1

(

x2 + 1 − x2 x2 + 1 + x

)

, e simplificando a

1
= = 0.
+∞
x2 + 1 + x

)

c. Com funções exponenciais. Relativamente a esta função deve-se saber que:

 +∞ se a > 1 e lim ( a x ) =  + x →+∞
0 se − 1 < a < 1

 0+ se a > 1 lim ( a x ) =  x →−∞
+∞ se − 1 < a < 1

Para se calcular o limite de um função onde esteja envolvida a função exponencial, aconselha-se a fatorizar com a exponencial de maior base (ver: ponto_2; alínea-c; exemplo_2).

 ax p x

Também se deve ter presente o limite de referência: lim  x →+∞


 = +∞ , a > 1 ∧ p ∈ℜ


 xp 
a 

e: lim  = 0 , a > 1 ∧ p ∈ℜ x  x →+∞
Exemplo1:
( +∞−∞ )

lim ( 5 x − 3x ) =

x →+∞

  x 
  3x  
  = +∞ × (1 − 0 ) = +∞ ×1 = +∞ lim 5 x 1 − x   = lim 5 x 1 − 