Calculo de limites

O conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem estabelecida no Cálculo: Conjuntos, Funções, Limites, Continuidade, Derivadas e Integrais Para entender os conceitos mais importantes da lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é fundamental. O motivo para isto é que nem tudo o que queremos realizar, ocorre no meio físico e quase sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns e esta procura ocorre com os limites nos estudos de sequências, séries, cálculos de raízes de funções, ... Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior do que 4 somente é possível através de métodos numéricos que utilizam fortemente as idéias de limites e continuidade. Na verdade, este cálculo depende do Teorema do Valor Intermediário (apresentado no final) que é uma consequência do estudo de continuidade de funções.

Idéia Intuitiva de Limite Estudaremos o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. Para fixar idéias, consideremos a função f:R-{1}R definida por:

f(x)=

x²-1

x-1

Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita na forma mais simples: f(x) = x + 1 Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x=1, ponto este que não pertence ao domínio de f, constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor L=2, quando os valores de x se aproximam de x=1, tanto por valores de x1 (à direita de 1). Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f, para valores x à esquerda e à direita de x=1.

Pela esquerda de x=1

x

0

0,5

0,8

0,9

0,99

0,999

1

f(x)

1

1,5

1,8

1,9

1,99

1,999

2

Pela direita de x=1

x

2

1,5

1,2

1,1

1,01

1,001

1

f(x)

3

2,5

2,2