calculo 1

1. Deseja-se confeccionar uma trave para um campo de futebol com uma viga de 18m de comprimento. Encontre as dimensões para que a área do gol seja máxima. Vamos esboçar um desenho de uma trave genérica: Temos trave:

Pelos dados fornecidos pelo enunciado do problema, temos que:
2x + y = 18 y = 18 – 2x
A área do gol é dada pela fórmula da área do retângulo formado: A = x . y
Logo temos
A = x (18-2x) A = 18x - 2x²
Calculamos, agora, a derivada da função A(x): A' = 18 - 4x
Igualando a zero, obtermos uma equação linear que nos leva ao cálculo de máximo: 18 – 4x = 0 4x = 18 x = 9/2 x = 4,5
Encontramos a altura x da trave. Para encontrarmos sua largura, substituímos o valor de x: y = 18-2x y = 18-2 . 9/2 y = 18 - 9 y = 9
Portanto, a trave deverá ter altura de 4,5m e largura de 9m para que a área de gol seja a maior possível.

2. Dentre todos os retângulos de perímetro 64cm, encontre as medidas de um em que sua áreas seja máxima. Temos o retângulo:

Sabemos que o perímetro é dado por: P = 2x + 2y 64 = 2x + 2y 32 = x + y x = 32 - y

A área do retângulo é dada por: A = x . y
Substituindo, obtemos: A = (32-y) . y A = 32y - y²
Calculamos agora a derivada: A' = 32 - 2y
Igualamos a zero obtendo a equação: 32 – 2y =0 2y = 32 y = 16
Agora que já encontramos o valor de um dos lados do retângulo, substituímos o valor encontrado: x = 32 - y x = 32 – 16 x = 16
Com este resultado, concluímos que, para que a área seja máxima, o quadrilátero pedido é um quadrado de lado 16cm.

3. Um terreno, em desapropriação para reforma agrária tem a forma de um quadrado. Estima-se que cada um de seus lados mede 1200 , com um erro máximo de m 10 . m Usando diferencial, determine o possível erro no calculo da área do terreno.

Usando dados do problema temos x = 1200 e o erro no caso Dx = 10
Logo teremos: A = x² A' = 2 x . Dx A' = 2 . 1200 (10) A' = 2400m²

4. Um