cakc 1 diva

241
4.16 – EXERCÍCIOS – pg. 159
1. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.
Esboçar o gráfico em cada caso.
(a) ( ) x f x
1
= ; , 3.
3
1 x = x =
2
1
( ) ( ) x m x f x
−
= ¢ =
Considerando
3
1
x = ,
9
9
1
1
3
1
1
3
1
2 = −





−
=





−
=




m .
3
3
1
p / x =  y = .
Assim,
3 9 3
3
1
3 9
− = − +





− = − − y x y x
9x + y − 6 = 0
Considerando x = 3,
9
1
3
1
(3) 2
−
=
−
m =
3
1 p / x = 3 y =
9 6 0
9 3 3
( 3)
9
1
3
1
+ − =
− = − +
−
−
− = x y y x y x
Segue o gráfico:
242
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4 x f (x)
(b) ( ) x a f x
−
=
1
, aÎR −{−2,4} ; x = −2, x = 4.
Temos que:
.
( )
1
( ) ( ) 2 x a m x f x
−
−
= ¢ =
Para x = −2 temos:
2 (2 )
1
( 2 )
1
( 2) 2 a a m +
−
=
− −
−
− = . a a p x y
+
−
=
− −
= −  =
2
1
2
1
/ 2
Assim,
(2 ) 4 0.
(2 ) 2 2
( 2)
(2 )
1
2
1
2
2
2
+ + + + =
+ + + = − −
+
+
−
=
+
+ x a y a a y a x x a a y Para x = 4 temos:
(4 )2
1
(4) a m
−
−
=
a p x y
−
=  =
4
1
/ 4
243
Assim,
(4 ) 8 0.
(4 ) (4 ) 4
( 4)
(4 )
1
4
1
2
2
2
+ − − + =
− − − = − +
−
−
−
=
−
− x a y a a y a x x a a y Segue o gráfico:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4 x f (x)
Usando a = 3
(c) f (x) = 2 x ; x = 0, x = 3, x = a,a > 0.
Temos que:
.
1
( ) ( ) x m x = f ¢ x =
Para x = 0 , temos
= ¥
D
D −
=
D
+ D −
+ + D ® D ® x x x f x f x x
2 0 lim (0 ) (0) lim 0 0
Portanto, usando 4.1.2, segue que x = 0 é a equação da reta tangente.
Para x = 3 temos:
3
1 m (3) = e p / x = 3 y = 2 3 .
Assim,
244
3 3 0
3 6 3
( 3)
3
1
2 3
− + =
− = −
− = − x y y x y x
Para x = a temos:
( ) a m a
1
= e p / x = a  y = 2 a, a > 0.
Assim,
( )
2 0.
1
2
− = − − + =
− = − a y a x a ou x a y a x a a y a
Segue o gráfico.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5