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Aula 1 Velocidade instant^nea e derivadas a
1.1 Velocidade instant^nea a

Um ponto m¶vel M desloca-se ao longo de uma linha reta horizontal, a partir de um o ponto O.
∆s s 0 = s(t 0) s1 = s(t 0+ ∆t) s

O s=0

M s = s(t)

O deslocamento s, de M , em rela»~o ao ponto O, ¶ a dist^ncia de O a M , se M ca e a est¶ µ direita de O, e ¶ o negativo dessa dist^ncia se M est¶ µ esquerda de O. Assim, s ¶ aa e a aa e positivo ou negativo, conforme M se encontre, respectivamente, µ direita ou µ esquerda a a de O. Com estas conven»~es, a reta passa a ser orientada, o que chamamos de eixo, co sendo O sua origem. O deslocamento s depende do instante de tempo t, ou seja, s ¶ uma fun»~o da e ca vari¶vel t: a s = s(t) Em um determinado instante t0 , o deslocamento de M ¶ s0 = s(t0 ). Em um e instante posterior t1 , o deslocamento de M ¶ s1 = s(t1 ). e A velocidade m¶dia do ponto M , no intervalo de tempo [t0 ; t1 ] ¶ dada por e e vm = s1 ¡ s0 s(t1 ) ¡ s(t0 ) = t1 ¡ t0 t1 ¡ t0

Podemos tamb¶m escrever t1 = t0 + ¢t, ou seja, ¢t = t1 ¡ t0 , e tamb¶m e e ¢s = s(t1 ) ¡ s(t0 ) = s(t0 + ¢t) ¡ s(t0 ). 1

^ Velocidade instantanea e derivadas Teremos ent~o a vm =

2

¢s s(t0 + ¢t) ¡ s(t0 ) = ¢t ¢t

Por exemplo, vamos supor que s(t) = 1 at2 (ponto m¶vel uniformemente aceo 2 lerado). Assim, no instante t = 0 o ponto m¶vel est¶ em s(0) = 1 a ¢ 02 = 0. o a 2 ca A partir de um certo instante t0 , temos uma varia»~o de tempo ¢t. Seja t1 = t0 + ¢t. Podemos ter ¢t > 0 ou ¢t < 0 (quando ¢t < 0, t1 antecede t0 ). Teremos ent~o a ¢ 1 1 ¡ s(t1 ) = s(t0 + ¢t) = a(t0 + ¢t)2 = ¢ at2 + 2at0 ¢t + a(¢t)2 0 2 2 A varia»~o do deslocamento do ponto m¶vel, nesse intervalo de tempo, ser¶ ca o a 1 1 1 ¢s = s(t1 ) ¡ s(t0 ) = at2 + at0 ¢t + a(¢t)2 ¡ at2 0 2 2 2 0 ou seja, ¢s = at0 ¢t + a(¢t)2 2

A velocidade m¶dia do ponto, no intervalo de tempo [t0 ; t1 ], ser¶ dada por e a at0 ¢t + a(¢t) a¢t ¢s 2 = = at0 + ¢t ¢t 2 Se ¢t ¼ 0, ent~o tamb¶m teremos ¢s = at0 ¢t + a e a¢t ¢s = at0 + ¼ at0 ¢t 2 De um