Binomial apostila

9. Principais distribuições de variáveis discretas.

Dentre as distribuições de variáveis discretas destacam-se a distribuição binomial e a de Poisson.

9.1 Distribuição Binomial

Na distribuição binomial, a variável, descreve o número de vezes que certo evento pode ocorrer em uma série de ensaios idênticos e independentes (quando o resultado de um ensaio não interfere no resultado de outro ensaio). Seja p a probabilidade de um evento ocorrer em uma única tentativa (probabilidade de sucesso) e q (probabilidade de fracasso) a probabilidade de que não ocorra o evento. Essas probabilidades devem ser constantes em todos os ensaios. A probabilidade de que o evento ocorra x vezes em n tentativas é dada por:

[pic]

onde [pic] ; n! = n (n-1)(n-2)..2.1 e por definição temos 0! =1

x : nº de vezes em que ocorre o evento(nº de sucessos); n : nº de tentativas; (n-x) : nº de vezes em que não ocorre o evento; p : probabilidade de sucesso em uma única tentativa q = 1-p : probabilidade de fracasso em uma única tentativa; p + q = 1

A média da distribuição binomial é dada por (=np e a variancia (²=np(1-p)=npq. Um exemplo clássico de variável que tem distribuição binomial é a do número de caras em n lançamentos de uma moeda. Outro exemplo refere-se ao número de peças não-conformes em n itens inspecionados

Exemplo: Em 6 lançamentos de uma moeda, qual é a probabilidade de se obter 2 caras? Nesse caso: x = 2 caras n = 6 lances p = 1/2 (probabilidade de ocorrer cara em um único lance) q = 1-p = 1-1/2= 1/2.
Logo:

[pic]

A média da distribuição é igual a µ = np = 6.2 = 3 A variância é igual a (² = npq = 6.(1/2)(1/2) = 6/4 = 1,5

Se houver interesse na determinação da probabilidade de "x ou mais'~ ou “x ou menos" sucessos, aplicamos o teorema das soma para eventos mutuamente