Aço 1020

Equa¸c˜ oes Diferenciais

M´etodo de Diferen¸cas Finitas
Universidade Tecnol´ ogica Federal do Paran´ a Cˆ ampus Francisco Beltr˜ ao Disciplina: C´ alculo Num´ erico Professor: Jonas Joacir Radtke

Universidade Tecnol´ ogica Federal do Paran´ a C´ alculo Num´ erico Equa¸c˜ oes Diferenciais

Aplica¸c˜oes
Quase todos os problemas em ciˆencias f´ısicas e engenharia podem ser reduzidos a uma equa¸c˜ao diferencial. Uma equa¸c˜ao diferencial
´e uma equa¸c˜ao que envolve uma fun¸c˜ao inc´ ognita e suas derivadas.
Al´em das equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias sujeitas a condi¸c˜ao inicial temos equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias e parciais sujeitas a condi¸c˜oes de contorno. Para tais problemas abordamos o M´etodo de Diferen¸cas Finitas.
Discretiza¸c˜ao do Dom´ınio
No M´etodo de Diferen¸cas Finitas (MDF) o dom´ınio do problema, cont´ınuo, ´e substitu´ıdo por uma s´erie de pontos discretos, ou n´os, nos quais s˜ao calculadas as inc´ ognitas do problema. Essa substitui¸c˜ao do cont´ınuo pelo discreto denomina-se discretiza¸c˜ao.

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Discretiza¸c˜ao da Equa¸c˜ao
Uma vez efetuada a discretiza¸c˜ao do dom´ınio do problema, discretiza-se a equa¸c˜ao diferencial aplicando-se o MDF para a determina¸c˜ao das inc´ognitas. As derivadas, que aparecem na equa¸c˜ao original, s˜ao substitu´ıdas (ou aproximadas) por f´ormulas discretas de diferen¸cas. A aplica¸c˜ao dessas f´ ormulas aos pontos do dom´ınio discretizado gera um sistema de equa¸c˜ oes alg´ebricas, cuja solu¸c˜ao fornece os valores das inc´ ognitas do problema nesses pontos discretos.

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Derivadas de Primeira Ordem: Diferen¸ca Progressiva
Por defini¸c˜ao a derivada de uma fun¸c˜ao φ(x) em um ponto xi ´e dada por: φ(xi + h) − φ(xi ) dφ = lim dx x=xi h→0
h