azul

Cap´ıtulo 1

Matrizes e Determinantes
1.1

Generalidades

Iremos usar K para designar
IR conjunto dos n´ umeros reais
C conjunto dos n´ umeros complexos.
Deste modo, chamaremos n´ umeros ou escalares aos elementos de K.
Sejam m e n inteiros positivos.

(1.1 a) Defini¸ c˜ ao.
Chama-se matriz do tipo m × n sobre K a todo o quadro que se obt´em dispondo mn n´ umeros segundo m linhas e n colunas.



A=



a11 a21 ..
.

a12 a22 ..
.

···
···
..
.

a1n a2n ..
.

am1 am2 · · · amn

1








(1.1 b) Nota¸ c˜ oes. Usamos igualmente como abreviatura
A=

aij

i=1,...,n ; j=1,...,n

ou aij m×n

ou ainda, simplesmente aij caso se subentenda o tipo da matriz.
O n´ umero aij diz-se o elemento, entrada ou componente da matriz A. Em aij o i indica a linha onde se situa o elemento j indica a coluna onde se situa o elemento e, como tal, i diz-se o ´ındice de linha j diz-se o ´ındice de coluna do elemento aij .
O elemento aij diz-se ainda o elemento (i, j) da matriz A.
Para A matriz do tipo m × n de elementos sobre K
i. a matriz A diz-se quadrada sempre que

m=n ;

ii.

rectangular

m = n;

iii.

matriz-linha ou vector-linha

iv.

m = 1;

matriz-coluna ou vector-coluna

2

n = 1;

Representamos por
Mm×n (K) o conjunto de todas as matrizes do tipo m × n sobre K. Com abuso de linguagem, usamos a nota¸c˜ao
Km
para representar Mm×1 (K), ou seja, para representar o conjunto das matrizes com m linhas e 1 coluna de elementos em K, as matrizes-coluna,

 a1 



 a2
Mm×1 (K) = 
 ..


 .


 a

m












 : ai ∈ K, i = 1, 2, · · · , m ∼
=








∼
= K m = {(a1 , a2 , · · · , am ) : ai ∈ K, i = 1, 2, · · · , m} .
(1.1 c) Defini¸ c˜ ao.
As matrizes
A=

aij

∈ Mm×n (K), B =

bk

∈ Mp×q (K)

dizem-se iguais sse m=p n=q

e

aij = bij , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.