Avaliacao 2 FMC

— Avalia¸c˜ ao 2 —
Disciplina: Elementos de Matem´ atica para Computa¸c˜ao
Matr´ıcula:

Nome:

Turma:

1. Sejam a, b, c ∈ Z. Determine, justificadamente, a validade de cada uma das seguintes asser¸c˜ oes.
i) (a | c e b | c) se e somente se ab | c ii) (a | b e a | c) se e somente se a | bc
2. Utilizando os conceitos de aritm´etica modular somos capazes de aferir diversos crit´erios de divisibilidade entre inteiros. Com efeito, para n ∈ Z arbitr´ario, mostre que n ´e divis´ıvel por 27 se a soma de seus d´ıgitos, do menos significativo ao mais significativo, tomados trˆes a trˆes, ´e divis´ıvel por 27.
Exemplos:
Note que 27 | 219 159, uma vez que 219 + 159 = 378 = 27 × 14.
Pelo mesmo princ´ıpio temos que 27 | 384 599 961, j´ a que 384 + 599 + 961 = 1 944 = 27 × 72.

Solu¸ c˜ ao
?

Se a soma dos d´ıgitos de um inteiro n, tomados trˆes a trˆes, ´e divis´ıvel por 27 ent˜ao 27 | n.
Temos que 10 ≡ 10 (mod 27) e 102 ≡ 19 (mod 27), o que n˜ao nos leva a equivalˆencias pr´ aticas destas potˆencias de 10. No entanto, como 27 | 999, e consequentemente 27 | (1000 −
1), pelas equivalˆencias modulares, obtemos:
103 ≡ 1

(mod 27)

(1)

Logo, de (1), temos:
104 ≡ 10

(mod 27)

105 ≡ 102

(mod 27)

106 ≡ 100 ≡ 1

(mod 27)

...

(2)

Portanto, de (2), conclu´ımos que
10k ≡ 10k mod 3

(mod 27), para qualquer inteiro n˜ao-negativo k.

(3)

Logo, como qualquer inteiro positivo n pode ser escrito como uma expans˜ao decimal de forma n = d0 + d1 · 10 + d2 · 102 + d3 · 103 + d4 · 104 + d5 · 105 + · · · + dr · 10r

(4)

sendo 0 ≤ di < 10, 0 ≤ i < r, em que r ´e um inteiro positivo e dr = 0.
Assim, de (4) e (3) temos a seguinte equivalˆencia, m´odulo 27: n ≡ d0 + d1 · 10 + d2 · 102 + d3 · 100 + d4 · 101 + d5 · 102 + · · · + dr · 10r mod 3
2

1

2

r mod 3

n ≡ (d0 + d1 · 10 + d2 · 10 ) + (d3 + d4 · 10 + d5 · 10 ) + · · · + dr · 10

(mod 27)
(mod 27)

Assim, mostramos que se
(d0 + d1 · 10 + d2 · 102 ) + (d3 + d4 · 101 + d5 · 102 ) + · · · + dr · 10r mod 3 ≡ 0 ent˜ ao n≡0 (mod 27)

(mod 27)