Autovetores e Autovalroes

Autovalores e Autovetores

Definição

O conceito de autovetores e autovalores se estende naturalmente em transformações lineares abstratas em espaço vetoriais abstratos. Ou seja, sendo “V” um espaço vetorial qualquer sobre um campo escalar “K” e seja “T” uma transformação linear V em V, dizemos que um vetor diferente de zero “v” em “V” é um autovetor “T” se e somente se ele é um escalar λ em K de tal modo que:

T(v) = λv.

A equação é chamada equação do autovalor de T, e o escalar λ é o autovalor T correspondente de um autovetor “v”. Nota-se que T(v) é o resultado do operador T ao vetor v, enquanto “λv” é o produtor escalar λ por v.

A definição específica da matriz é um caso desta definição abstrata, ou seja, o vetor V de espaço é o conjunto de todos os vetores da coluna de um determinado tamanho “n x 1”, e T é a transformação linear que consiste em multiplicar um vetor dado por N x N vezes uma matriz “A”.

Alguns autores permitem que o vetor v seja o vetor zero na definição do vetor próprio. Isso é razoável contanto que seja definido vetores e valores cuidadosamente.
Se fosse requerido que o vetor zero seja transformado em um autovalor, então é preciso primeiramente definir um autovalor T como um escalar λ em K sendo que precisaremos de um vetor diferente de zero v em V com T(v)= λv. Dessa forma, podemos provar que não é todo caso que o escalar é um autovalor correspondente ao vetor zero.

Representação Geométrica

- u é autovetor de T pois  R/ T(u) = u.

- λv não é autovetor de T pois não   R / T(v) = v.

Exercício

1) Considere o operador linear definido: T : R² -> R². T (x,y) = (4x + 5y, 2x + y). Encontre os autovalores de A = , matriz canônica de T.

Resolvemos a equação características Det (A - λI) = 0:

A – λI = - λ =

Det (A - λI) = 0 => (4-λ).(1-λ) –10 = 0 => λ²-5λ-6=0

λ1 = -1 e λ2 = 6. Encontrar os