Autovalores

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Autovalores e Autovetores

Definição 9.1 Seja T : V → W um operador linear. Se existirem v ∈ V , v = 0, e λ ∈ R tais que T (v) = λv, λ é um autovalor de T e v um autovetor de T associado a λ. Exemplos: 1. Consideremos o operador linear T : R2 → R2 tal que T (x, y) = (4x + 5y, 2x + y). v = (5, 2) é autovetor de T associado ao autovalor λ = 6. 2. Seja T : R2 → R2 , na qual v → 2v. Neste caso, 2 é um autovalor de T e qualquer (x, y) = (0, 0) é um autovetor de T associado ao autovalor 2.

9.1

Determinação de autovalores e autovetores

1o Determinação dos autovalores Seja o operador linear T , cuja matriz canônica é a matriz A. Sendo λ e v, respectivamente, autovalor e autovetor de T , tem-se: Av Av − λv Av − λIv (A − λI)v = = = = λv 0 0 0

Para que este sistema homogêneo admita soluções não-nulas, deve-se ter: det(A − λI) = 0 A equação det(A − λI) = 0 é denominada equação característica do operador T ou da matriz A, e suas raízes são os autovalores do operador T ou da matriz A. O determinante det(A − λI) é um polinômio em λ denominado polinômio característico. 2o Determinação dos autovetores A substituição de λ pelos seus valores no sistema homogêneo (A − λI)v = 0 permite determinar os autovetores associados. Exemplos: Encontre os autovalores e autovetores associados das matrizes: 1. A = 2. A =  −3 −1 √ 3 1 4 2 −1 √ 3

 3 0 −4 5  3. A =  0 3 0 0 −1   3 −3 −4 3 5  4. A =  0 0 0 −1

2

9.2

Base de Autovetores

Dado um operador linear T : V → V , nosso objetivo é conseguir uma base β de V na qual a matriz do operador nessa base [I]β seja uma matriz diagonal, que é a forma β mais simples possível de se representar um operador. Teorema 9.1 Autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes. Corolário Se V é um espaço vetorial de dimensão n e T : V → V é um operador linear que possui n autovalores distintos, então V possui uma base cujos vetores são todos autovetores de T . Em outras palavras, se conseguirmos