aula3 matengI derivadas

MAT0311 - MATEMATICA PARA
ENGENHARIA I
246M12 -3A2
Professor Silvio José Bezerra

1

Derivadas
Na aula2, definimos o coeficiente angular de uma curva como o limite dos coeficientes angulares das secantes. ver anima
Esse limite, chamado derivada, mede a taxa de variação de uma função e é um dos conceitos mais importantes de cálculo.
As derivadas são usadas em engenharia, ciência, economia, medicina e ciências da computação para calcular a velocidade e a aceleração, para explicar o funcionamento das máquinas, para estimar a diminuição do nível de água quando ela é bombeada para fora de um tanque e para prever as conseqüências de erros cometidos durante as medições.

Def : Função Derivada
A derivada de uma função é a função f (x + h) f (x) = lim h 0 h ⇥

desde que o limite exista.

f (x)

,

Calculando definição de derivada
1. Escreva expressões para
2. Desenvolva e simplifique o quociente da diferença f (x + h) f (x) h 3. Usando o quociente simplificado, encontre f’(x) calculando o limite f (x + h) f (x)
⇥
f (x) = lim h 0 h Regra 1: Derivada de uma função constante
Se

df d =
(c) = 0 dx dx

Regra 2: Regra de Derivação para Potências Inteira
Positivas
Se

d n x = nxn dx 1

Regra 3: Regra da Multiplicação por Constante
Se
então

d du (cu) = c dx dx

Regra 4: Regra da Derivada da Soma
Se
duas funções ambas são deriváveis. Nesses pontos,

d du dv
(u + v) =
+
dx dx dx

Regra 4a: Regra da Derivada da Soma
Se
duas funções ambas são deriváveis. Nesses pontos,

d du dv
(u + v) =
+
dx dx dx

Regra 4b: Regra da Derivada da Diferença
Se
das duas funções onde ambas são deriváveis. Nesses pontos,

d
(u
dx

du
v) = dx dv dx Derivada
2

y = ax + bx + c
A reta tangente em (x

y = (2ax 0 + b) x + y0 − (2ax0 + b) x0
Ou ainda
2
0

y = (2ax 0 + b) x − ax + c

11

−b x= 2a

Quando reta tangente à parábola será expressa por
4ac − b2 y= 4a

pelo eixo das abscissas.

y = x2 − 4

y = − x2 + 4
12

Ex1
Δy f (3 + h) − f (3) (3 + h)2 − 32 6h + h 2
=
=
=
=6+h
Δx
h h h
Δy
= lim 6 +