Aula19 20 Slides 2

AM2

Integrais triplos
Definição de integral triplo generalização definição integral simples e duplo
Integrais triplos num paralelipípedo: integrais iterados
Integrais triplos em regiões mais gerais
Integrais triplos: coordenadas cilíndricas
 Integrais triplos: coordenadas esféricas
Transformações genéricas para calcular integrais triplos

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Integral triplo – interpretação geométrica
E

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Integral triplo – cálculo

v

u

c

d

a b Como calcular?

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considerar x e y fixos

considerar x e z fixos

Exemplo:

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Integrais triplos sobre regiões mais gerais – cálculo z E

y x Para (x,y) constante, z varia entre D

Após integrar, é uma função de x e y.

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Exemplo: determinar

onde E é a região do 1º octante

que está abaixo do plano 2x + 3y + z = 6

D

ou

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Integrais triplos sobre regiões mais gerais – proj. no plano yz

E

Para (y,z) constante, x varia entre Após integrar, é uma função de y e z.

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Exemplo: determinar
e.

e

z

onde E é o sólido definido por
.
z

1

D
1

x

y

y

coordenadas polares para a projecção.

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Integrais triplos sobre regiões mais gerais - proj. no plano xz

E
Para (x,z) constante, y varia entre Após integrar, é uma função de x e z.

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Exemplo: determinar

onde E é o sólido limitado por

e pelo plano y=8.

z

2

D
2

x

coordenadas polares para a projecção

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Integrais triplos – coordenadas cilíndricas z P

z r y
Coordenadas cilíndricas: extensão das coordenadas polares a 3 dimensões

x

lugar geométrico dos pontos com

cilindro

lugar geométrico dos pontos com

semiplano vertical

lugar geométrico dos pontos com

plano horizontal

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Mudança para coordenadas cilíndricas

Exemplo: determinar

onde E está limitado por e

z z 2

D y x

2

x

e z = 4.

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Integrais triplos – coordenadas esféricas z P

y x lugar geométrico dos pontos com

esfera

lugar geométrico dos pontos com

semiplano vertical

lugar geométrico dos pontos com

cone

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Integrais triplos – coordenadas esféricas