aula1

Fun¸c˜oes reais de v´arias vari´aveis

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MODULO
1 – AULA 1

Aula 1 – Fun¸ c˜ oes reais de v´ arias vari´ aveis Objetivo
• Apresentar as fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis.

Introdu¸ c˜ ao
A partir desta aula, at´e o fim do semestre, o foco de nossas aten¸c˜oes ser´a as fun¸c˜oes de v´arias vari´aveis. Vocˆe j´a estudou as fun¸c˜oes reais e vetoriais de uma vari´avel que servem para descrever fenˆomenos que dependem de um u ´ nico parˆametro ou vari´avel. Como exemplos, vocˆe pode tomar a posi¸c˜ao de uma part´ıcula, a sua velocidade e a sua acelera¸c˜ao. Nesses casos, os fenˆomenos variam em fun¸c˜ao do tempo. No entanto, h´a diversas situa¸c˜oes nas quais o resultado depende de mais de uma vari´avel. Vamos a um exemplo.
Podemos usar uma fun¸c˜ao para descrever as diversas temperaturas em diferentes pontos de uma dada placa de metal. Isto ´e, a cada ponto P da placa associamos a sua temperatura T (P ), dada em graus Celsius, digamos.
Muito bem; para determinarmos um ponto em uma placa, precisamos de duas informa¸c˜oes: uma latitude e uma longitude. Isto ´e, necessitamos de duas coordenadas. Ou seja, T ´e uma fun¸c˜ao de duas vari´aveis.
Veja uma outra situa¸c˜ao. Dado um corpo com a forma de um paralelep´ıpedo, podemos associar a cada um de seus pontos P a densidade δ(P ) do objeto nesse exato ponto. Isso nos d´a uma fun¸c˜ao δ, que depende de trˆes vari´aveis, uma vez que, para localizar um ponto no paralelogramo, necessitamos de trˆes informa¸c˜oes: altura, largura e profundidade.
Vocˆe seria capaz de imaginar uma situa¸c˜ao que demandasse uma fun¸c˜ao de quatro vari´aveis para descrever um determinado fenˆomeno?

Fun¸co
˜es de duas vari´ aveis Chamamos fun¸c˜oes de duas vari´aveis as fun¸c˜oes do tipo f : A ⊂ lR 2 −→ lR , cuja lei de defini¸c˜ao tem a forma z = f (x, y).
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CEDERJ

Fun¸c˜oes reais de v´arias vari´aveis

Isto ´e, x e y s˜ao as vari´ aveis independentes. O subconjunto A de lR 2 ´e o dom´ınio da fun¸c˜ao.
Exemplo 1.1
Seja f : lR 2 −→ lR a fun¸c˜ao