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Conjuntos finitos e infinitos
Números naturais
O conjunto N dos números naturais é caracterizado pelos seguintes fatos
(Axiomas de Peano) :

1. Existe uma função injetiva s : N → N. A imagem s(n) de cada número natural n ∈ N chama-se sucessor de n.
2. Existe um único número natural 1 ∈ N tal que 1 = s(n) para todo n ∈ N.
3. Se um conjunto X ⊂ N é tal que 1 ∈ X e s(x) ⊂ X (isto é, n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X) então X = N (Princípio da indução).
Essas afirmações podem ser reformuladas assim:
1. Todo número natural tem um sucessor, que ainda é um número natural; números diferentes têm sucessores diferentes.
2. Existe um único número natural 1 que não é sucessor de nenhum outro.
3. Se um conjunto de números naturais contém o número 1 e contém também o sucessor de cada um de seus elementos, então esse conjunto contém todos os números naturais.
O princípio da indução serve de base para um método de demonstração de teoremas sobre números naturais, conhecido como método de indução finita, o qual funciona assim: "se uma propriedade P é válida para o número 1 e se
, supondo P válida para o número n daí resulta que P é válida também para o seu sucessor s(n), então P é válida para todos os números naturais".

Exemplo 0.1. Para todo n ∈ N, tem-se s(n) = n. Essa afirmativa é verdadeira para n = 1 porque, pelo axioma 2, tem-se 1 = s(n) para todo n logo, em particular, 1 = s(1). Supondo-a verdadeira para um certo n ∈ N, vale n = s(n). Como a função s é injetiva, daí resulta s(n) = s(s(n)), isto é, a afirmativa é verdadeira para s(n).

n(n + 1)
Exemplo 0.2. k= 2 k=1 n

(2k − 1) = n2 k=1 No conjunto N dos números naturais são definidas duas operações fundamentais: a adição, que associa a cada par de números (m, n) sua soma m+ n, e a multiplicação, que faz corresponder ao par (m, n) seu produto m·n. Essas operações são caracterizadas pelas seguintes igualdades, que lhes servem de definição: m + 1 = s(m); m + s(n) = s(m+n) , isto, m + (n + 1) = (m