Aula Interpretacao Integral Dupla 28 10 14

INTEGRAIS DUPLAS
1.

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS INTEGRAIS DUPLAS

Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla.
Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado
R = [a,b] x [c,d] = {(x,y) IR2| a < x < b, c < y < d } y d
R
c a b

x

e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a superfície de equação z = f(x,y).

z
S

y

R

x
Seja S o sólido que está contido na região acima de R e abaixo do gráfico de S, ou seja,
S = {(x,y,z) IR3| (x,y)  R, 0 < z < f(x,y)}
Nosso objetivo é determinar o volume de S.
O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento
x = (b – a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , y j], de mesmo comprimento y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos coordenados passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os subretângulos.
Rij = [x i-1,x i] x [y j-1,y j ] = {(x,y) | x i-1 < x < x i , y j-1 < y < y j } cada um dos quais com área A = xy.

y
R

Rij

d
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y

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

yj

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

yj-1
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

y2


y1

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(xij , yij)

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c a x1

x2

xi-1

b

xi

x

x
Se escolhermos um ponto arbitrário (xij , yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte de S que está acima de cada Rij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e altura f(xij , yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura vezes a área do retângulo da base:
Vij = f(xij , yij)A.
Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de S:
V

n

m

i 1

j1

  f (x ij , y ij )A

Essa dupla soma