Aula Derivadas
CURSO: Administração
Carga Horária: 60h
Profª. Ma. Elda Sena
Administração
1
Cálculo I
Unidade IV – Derivadas
“Não se consegue nada sem o devido esforço”
Derivadas
• Considere uma função f(x) e sejam x0 e x1 dois pontos de seu domínio
• Sejam f(x0) e f(x1) as correspondente imagens
●
f(x1)
Δy f(x0) ●
Δx
x0
x1
3
Derivadas
• Chamamos de taxa média de variação de f, para x variando de x0 até x1, ao quociente
f ( x1 ) f ( x0 )
f
x
x1 x0
4
Exemplo1
• Seja a função f(x)=x2 , o ponto inicial de abscissa x0=1 e a variação Δx=2 (isto é, x varia de 1 a 3). A taxa média de variação de f para esses valores é:
f f (3) f (1) 32 12
4
x
3 1
2
• Isso significa, que se x variar 2 unidades (a partir de x0 =1), a variação de f será 4 vezes maior(Δf=4.ΔxΔf=8). 5
Exemplo1
Gráfico da função f(x)=x2
●
9
1
●
1
3
6
Exemplo2
• Seja f(x)=x2 e calculemos a taxa média de variação a partir de um ponto genérico de abscissa x0=x e um acréscimo também genérico
Δx.
Taxa Média de Variação=Derivada da Função
f f ( x x) f ( x) ( x x)2 x 2 2 x x (x)2
2 x x
x
x
x
x
7
Exemplo2
• Assim, se quisermos a taxa média de variação a partir do ponto x=5 e com uma variação
Δx=3, o resultado será 2.5+3=13.
8
Exemplo3
• Suponhamos que um objeto seja abandonado a
2.000 m de altura e que a função f(t)=2.000-10t2 altura do objeto em relação ao solo, t segundos após ele ser abandonado. Temos:
• f(0)=2.000 e f(5)=1.750
f f ( x1 ) f ( x0 )
• Δf1=-250. Logo, nos 5 primeiros segundos, o objeto caiu 250 m.
• Δf2=f(10) - f(5) =1.000 – 1.750=-750. Nos 5 segundos seguintes o objeto caiu 750m.
9
Exemplo3
• Para uma mesma variação de t (5 segundos), a variação de altura é diferente.
• A taxa média de variação da função representa a velocidade média do objeto a cada intervalo de tempo considerado.
• 1º intervalo: Velocidade média: f1 250 50m / s
5
• 2º intervalo: Velocidade média:
5
f 2 750