Aula derivada 4

Derivada da fun¸˜o impl´ ca ıcita
Derivadas de ordem superior

A Derivada

Bras´ 2o semestre de 2009 ılia, Universidade de Bras´ - Faculdade do Gama ılia A Derivada

Derivada da fun¸˜o impl´ ca ıcita
Derivadas de ordem superior

Conte´do u Derivada da fun¸˜o impl´ ca ıcita
Derivadas de ordem superior

A Derivada

Derivada da fun¸˜o impl´ ca ıcita
Derivadas de ordem superior

Fun¸˜o impl´ ca ıcita vs Fun¸˜o Expl´ ca ıcita
Se f = {(x , y )|y = x 2 − x + 1}, ent˜o a equa¸˜o a ca
2 − x + 1 define a fun¸˜o f (x ) explicitamente; y =x ca “Explicito” significa que f (x ) pode ser isolada em um dos lados da equa¸˜o de sua representa¸˜o alg´brica; ca ca e Exemplos de fun¸˜es expl´ co ıcitas s˜o todas as fun¸˜es que a co trabalhamos at´ agora; e A Derivada

Derivada da fun¸˜o impl´ ca ıcita
Derivadas de ordem superior

Fun¸˜o impl´ ca ıcita vs Fun¸˜o Expl´ ca ıcita
Considerando agora f : [−1, 1] → [0, 1] tal que f = {(x , y )|x 2 + y 2 = 1} (que descreve um semi-c´ ırculo unit´rio), f (x ) n˜o est´ definida explicitamente; a a a Nesse caso, se y = f (x ), temos que x 2 + (f (x ))2 = 1
No entanto, podemos explicitar f (x ) trabalhando algebricamente sua defini¸˜o de forma que ca f (x ) =

1 − x2

A Derivada

Derivada da fun¸˜o impl´ ca ıcita
Derivadas de ordem superior

Fun¸˜o impl´ ca ıcita vs Fun¸˜o Expl´ ca ıcita
Muitas vezes a “explicita¸˜o” da fun¸˜o n˜o pode ser ca ca a realizada. Por exemplo, se f = {(x , y )|y + sen(y ) = x }, n˜o ´ ae poss´ isolar y = f (x ) em um dos lados da equa¸˜o de sua ıvel ca representa¸˜o alg´brica; ca e
Em casos como o anterior, dizemos que f (x ) est´ definida a implicitamente.
No entanto, a deriva¸˜o desse tipo de fun¸˜o pode ser ca ca realizada empregando-se a regra da cadeia.
Para isso, basta lembrar que nas defini¸˜es das fun¸˜es co co impl´ ıcitas, a vari´vel y ´, de fato, uma fun¸˜o de x . a e ca A Derivada

Derivada da fun¸˜o impl´ ca ıcita
Derivadas de ordem superior

Exemplo
Se f = {(x , y )|x 2 + y 2 = 1}, encontre a