Aula derivada 2

A derivada como taxa de varia¸˜o: cinem´tica ca a Derivadas das fun¸˜es trigonom´tricas co e

A Derivada

Bras´ 2o semestre de 2009 ılia,

Universidade de Bras´ - Faculdade do Gama ılia

A Derivada

A derivada como taxa de varia¸˜o: cinem´tica ca a Derivadas das fun¸˜es trigonom´tricas co e

Conte´do u

A derivada como taxa de varia¸˜o: ca cinem´tica a Derivadas das fun¸oes trigonom´tricas c˜ e

A Derivada

A derivada como taxa de varia¸˜o: cinem´tica ca a Derivadas das fun¸˜es trigonom´tricas co e

Trajet´ria e velocidade o
Considere o movimento de um corpo em uma reta. Podemos descrever as posi¸˜es ocupadas pelo corpo em cada instante co de tempo atrav´s de uma fun¸˜o x(t); e ca A velocidade m´dia deste corpo entre dois instantes de tempo e x(t + ∆t) − x(t) ; ser´ ent˜o dada por vm = a a ∆t Observe que podemos calcular esta velocidade m´dia em um e dx , que ´ a e intervalo de tempo infinitesimal, ou seja v = dt velocidade instantˆnea do corpo; a Da mesma forma, observe que a acelera¸˜o instantˆnea ´ ca a e dv . dada por a = dt

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Exemplo
Considere um corpo que se movimenta segundo fun¸˜o ca x(t) = t 2 − 2t − 3. Responda as seguintes quest˜es: o

Qual ´ a fun¸˜o que e ca descreve a velocidade deste corpo? Qual ´ a sua acelera¸˜o? e ca Qual ´ a sua posi¸˜o e ca inicial, isto ´, x(0)? e E a sua velocidade inicial?

50 40 30 20 10 0 -10 1 5

x(t) v(t) a(t)

t

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Taxa de varia¸˜o ca
Assim como a velocidade ´ a taxa de varia¸˜o da posi¸˜o com o e ca ca tempo, a derivada de uma fun¸˜o f (x) ´ a taxa de varia¸˜o da ca e ca fun¸˜o f em rela¸˜o a sua vari´vel independente x. ca ca a Se V (x) = x 3 ´ o volume de um cubo de lado x, ent˜o a taxa e a de varia¸˜o do volume do cubo com o lado ´ V (x) = 3x 2 . ca e A potˆncia associada a realiza¸˜o de uma certa quantidade