AULA_DE_INTEGRAL_DEFINIDA

ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
CÁLCULO I
Prof. Irazel
CÁLCULO INTEGRAL COM UMA VARIÁVEL
INTEGRAL DEFINIDA
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e F uma primitiva de f , então,

onde:
• a é o limite inferior de integração
• b é o limite superior de integração
• f(x) é o integrando
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA
1

0

2

3

4

,

.

,

\

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
: 7⁄3

01.
02.
03.

4

: 16
:1

1⁄

( Mais exercícios: Guidorizzi, vol.1, 5ª edição, páginas 308, 309 e 310, exercícios 11.5)
1

APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA uma função contínua no intervalo
, é dado por:

,

I.

CÁLCULO DE ÁREAS – Seja gráfico de e o eixo dos x, de

. A área entre o

II.

CÁLCULO DA ÁREA COMPREENDIDA ENTRE O GRÁFICO DE DUAS FUNÇÕES A área entre os dois gráficos das funções f e g no intervalo [a,b] é dado por:

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
01. Use integração para calcular a área das regiões delimitadas pelo eixo-x e pelas funções abaixo:
a)

2

1,

b)

4 ,

c)

2

1, 3
1, 3
5

6,

2, 3
4

02. Calcule a área da região compreendida pelas curvas
03. Calcule a área da região compreendida pelas curvas

2

2

5

( Mais exercícios: Guidorizzi, vol.1, 5ª edição, páginas 316 e 317, exercícios 11.6)

2

III.

TEOREMA DO VALOR MÉDIO PARA INTEGRAIS

Se f é uma função contínua em [a,b], então existe c (a,b) tal que

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO TEOREMA DO VALOR MÉDIO
Se f (x) ≥ 0, ∀ x∈[a,b] , então a área sob o gráfico de f é igual à área do retângulo de lados
(b – a) e f(c).
O valor médio de f em [a,b] é dado por:
1

IV.

VOLUME OBTIDO PELA ROTAÇÃO DE UMA CURVA DESCRITA POR
TORNO DE OX

EM

Dada uma região plana R, girando-se a região R em torno do eixo dos x obtém-se um sólido denominado de sólido de revolução.

Considerando uma curva suave C descrita por y=f(x) (não negativa no intervalo [a,b]), o volume
V(S) do sólido de revolução gerado pela rotação da curva C em torno do eixo OX no intervalo [a,b] é dado por: 3

Volume obtido pela rotação de uma curva