Aula 5 Calculo Numerico parte 1 LU 2015 Modo de Compatibilidade
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Cálculo NuméricoSistemas de Equações Lineares / Parte 1
A=LU
Aula passada...
Vimos como resolver sistemas de equações lineares utilizando 3 métodos:
Gráfico
Eliminação
de Gauss
Eliminação de Gauss-Jordan
E hoje?
Processo de correção residual
Método de decomposição LU
Processo de Correção Residual
“O processo de correção residual consiste em fazer um tratamento na solução aproximada de modo que o resto r = b – Ax torne-se tão pequeno quanto possível.”
Seja o sistema: Ax = b x representa a solução exata do sistema:
“Devido aos arredondamentos, entre outros erros, temos soluções aproximadas representadas por:
Processo de Correção Residual
Processo de Correção Residual
Processo de Correção Residual
Método de Decomposição LU
Seja o sistema Ax = b
No Método de Decomposição LU a matriz A é decomposta em duas matrizes L e U.
L:
matriz triangular inferior
U: matriz triangular superior com os elementos da diagonal principal iguais a 1.
Logo, LUx = b.
Ou Ux = y & Ly = b.
Método de Decomposição LU
A vantagem dos processos de fatoração é que podemos resolver qualquer sistema linear que tenha A como matriz de coeficientes.
Se o vetor b for alterado, a resolução do novo sistema linear será quase que imediata.
A fatoração LU é um dos processos de fatoração mais empregados.
Nesta fatoração a matriz L é triangular inferior com diagonal unitária e a matriz U é triangular superior. Exemplo
Exemplo
Logo, x1= -21/5 e x2=-29/10
Pergunta:
Como calcular as matrizes L e
U?
Representação de L & U
“A decomposição A = LU existirá e será única se as condições do Teorema 3.1 forem satisfeitas.” Teorema 3.1
A demonstração deste teorema pode ser vista em
[4].
Obtendo L e U
Como calculamos o produto de duas matrizes?
Exemplo 3x3
Obtendo L e U
Obtendo L e U
Passo 1: Se j=1, min{i, j}=1
Os
elementos da 1ª coluna de L são iguais aos da 1ª coluna de A.
Passo 1
Obtendo L e U