Augusto

4 – APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
4.1- INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
Introdução: A interpolação
Interpolar uma função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida entre uma classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função g(x) é então usada em substituição à função f(x).
A necessidade de se efetuar esta substituição surge em várias situações, como por exemplo: a.) quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado; b.) quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas. 4.1.1- Interpretação geométrica
Consideremos (n +1 ) pontos distintos: x0 , x1 , ... , xn , chamamos nós da interpolação, e os valores de f(x) nesses pontos: f(x0 ), f(x1 ), ..., f(xn).
A forma de interpolação de f(x) que veremos a seguir, consiste em se obter uma determinada função g(x) tal que:

g (x0 ) = f ( x0 )
 g (x ) = f (x )
1
 1
g( x2 ) = f (x 2 )

⋅
 ⋅
 ⋅
⋅

 ⋅
⋅

g(x n ) = f (x n )
Geometricamente, um esboço da interpolante g(x) sobre a função f(x) é visto na figura 3.1.
Em particular, se g(x) = Pn (x), onde Pn é um polinômio de grau n, então a interpolação é denominada de interpolação polinomial.
Observamos que:
i.)
existem outras formas de interpolação polinomial como, por exemplo, a fórmula de Taylor, a interpolação por polinômios de Hermite e do tipo
“spline”, para as quais as condições são outras; ii.) Assim como g(x) foi escolhida entre as funções polinomiais, poderíamos ter escolhido g(x) como função racional, função trigonométrica, etc. Um

68

iii.)

caso que explora combinaçãoes de funções trigonométricas, em campo real ou complexo, é o aproximante definido a partir da série de Fourier; existe também o caso polinomial não interpolante, tal como, o aproximante