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Modelagem, Análise e Simulação de Sistemas - Aula: 03 03/09/2013

Modelos Matemáticos de Sistemas

Para compreender e controlar sistemas complexos, deve-se obter modelos matemáticos quantitativos destes sistemas. Torna-se necessário, por conseguinte, analisar as relações entre as variáveis do sistema e obter um modelo matemático. Como os sistemas sob consideração são dinâmicos por natureza, as equações que os descrevem são usualmente equações diferenciais. Além disto, se estas equações puderem ser linearizadas, pode-se utilizar a transformada de Laplace para simplificar o método de solução [1].

Equações diferenciais de sistemas físicos

As equações diferenciais que descrevem o desempenho dinâmico de um sistema físico são obtidas utilizando as leis físicas do processo. Esta abordagem se aplica igualmente bem a sistemas mecânicos, elétricos, fluidos e termodinâmicos [2].

Considere o sistema de torção mola-massa na Figura 1 com o torque Ta (t). Suponha-se que o elemento mola de torção seja desprovido de massa. Suponha-se que se deseja medir o torque Ts (t) transmitido à massa m. Como a mola é desprovida de massa, a soma dos torques que agem sobre a mola propriamente dita deve ser igual a zero, ou seja,

Ta (t) - Ts (t) = 0 => Ts (t) = Ta (t)

Constata que o torque externo Ta (t) aplicado a extremidade da mola é transmitido através da mola de torção. Por causa disto refere-se ao torque como uma variável-através. De modo semelhante, a diferença de velocidade angular associada ao elemento mola torção é

ω(t) = ωs(t) - ωa(t).

Figura 1 – (a) Sistema de torção mola-massa. (b) Elemento mola.

Assim, a diferença de velocidade angular é medida sobre o elemento mola de torção e é citada como uma variável sobre. Estes mesmos tipos de argumento podem ser aplicados a maioria das variáveis físicas mais comuns (tais como força, corrente, volume, vazão, etc.). A Tabela 1 fornece