ATPS Matemática Aplicada Etapa 3 e 4

Etapa 3
Os números complexos surgiram a partir das equações de terceiro grau. Foram anos de estudos até se chegar na equação que temos hoje. O primeiro matemático de que se tem notícia de se ter deparado com um problema que envolvia números complexos foi Héron de Alexandria (séc. I dC) . Em meados do ano 275 dC, Diophanto (200-284 aprox.) ao resolver um problema deparou-se com a eseguinte equação: 4x2 - 172x + 336 = 0 No entanto, foi Cardano que, em 1545, mencionou pela primeira vez os números complexos. Na sua obra Ars Magna de Cardano, falava do seguinte problema: "Determinar dois números cuja soma seja 10 e o produto seja 40". Para tal, considerou as expressões 5 + Ö15 e 5 - Ö-15. Concluiu que não tinha soluções reais, e não viu necessidade de dar sentido à raiz Ö.761-. Este tema foi de novo considerado em 1970 por Raffaelle Bombelli (1526-1572) numa obra de nome Algebra..
Ao resolver a equação x3 = 15x + 4, Bombelli utilizou a "fórmula de Cardano" (Gerônimo Cardano (1501-1576), considerava que o aparecimento de raízes quadradas de números negativos na resolução de um problema indicava que o mesmo não tinha solução), obtendo a seguinte solução (em notação moderna): x = 3Ö(2 + Ö-121) + 3Ö(2 - Ö-121)
Teve então a estranha ideia de procurar a e b positivos tais que: a + bÖ-1 = 3Ö(2 + Ö-121) a - bÖ-1 = 3Ö(2 - Ö-121)
Com alguma manipulação algébrica, usando as mesmas regras que usava para os números reais, mais a propriedade (Ö-1)2 = -1, chegou ao resultado a = 2 e b = 1, donde sai x = 4.
Raffaelle Bombelli mostrou em sua obra Algebra que as 4 operações aritméticas sobre números complexos produzem números desta forma. Ou seja, o conjunto dos complexos é fechado para estas operações.

Etapa 3
Um grande passo no estudo dos números complexos foi a sua representação visual. Em 1797, o dinamarquês Caspar Wessel (1745-1818) representou, pela primeira vez, geometricamente os números complexos, estabelecendo uma correspondência