Atividade Cálculo II

CÁLCULO II
Atividade Aberta 1 – 8 pontos
Resolução
Questão 1
O gráfico da derivada f  de uma função f está mostrado abaixo.

Com base nas informações desse gráfico: (a) determine os intervalos em que a função y  f (x) é decrescente. Justifique sua escolha; (b) indique para que valores de x a função y  f (x) tem um máximo ou um mínimo local; justifique sua escolha: (c) indique para que valores de x o gráfico de y  f (x) tem concavidade voltada para cima; justifique sua escolha; (c) no mesmo sistema da figura, esboce um possível gráfico da função y  f (x) , considerando que f (2)  3 e f (1)  1 .
RESPOSTA:
A) Observando o gráfico da derivada f’, podemos dizer que y = f(x) é decrescente nos pontos onde f’(x) < 0. Logo, f é decrescente em [-2, 1].
B) Números críticos: -2 e 1, sendo -2 (na função y = f(x) ) o máximo relativo e, 1 (na função y = f(x) ) o mínimo relativo. Logo, -2 refere-se ao máximo local , por se tratar do ponto em que a derivada passa de positiva para negativa.
C) O gráfico de f’ (x) é uma parábola do tipo f’(x) = y = ax 2 + bx + c. utilizando os pontos
(-2, 0), (0, -2) e (1, 0) podemos concluir que: f’ (x) = x2 + x – 2 f” (x) = 2x + 1
2x + 1 = 0

2x – (-1)
X = -0,5

Para a função y  f (x) a concavidade é voltada para baixo = (- ∞, -0,5).
Para a função y  f (x) a concavidade é voltada para ciama = (-0,5, +∞), logo, a função da derivada f’ é crescente se x >-0,5, o que por indício torna f’ positiva uma vez que x > -0,5;

D) Reunindo as informações dos itens anteriores: Pontos críticos: x = -2 (máximo relativo) e x = 1(mínimo relativo).
Na figura está um possível gráfico de y  f (x) , passando pelos pontos (2, 3) e (1,  1) .

Questão 2
Na figura abaixo, estão o gráfico da função f (x)  x 2x  6 e o de sua derivada f  .

Com base nessas informações: (a) marque na figura acima o gráfico de f e o gráfico de f  ;
(b) indique em que intervalo a função f é crescente e justifique sua indicação; (c)