atividade com poliedros

Atividade com Poliedros e Princípio de Cavalieri

Octaedro
Poliedro
Regular
Tetraedro

Tetraedro

Número de
Vértices (V)

Dodecaedro

Número de
Arestas (A)

Hexaedro
Número de
Faces (F)

Icosaedro
Relação de Euler
V–A+F=2

Hexaedro (cubo)
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro

Problemas/desafios
Para os problemas a seguir, você pode precisar lembrar, além da Relação de Euler, que que em cada vértice incidem exatamente 3 arestas pode ser deduzido de outro resultado que relaciona arestas com vértices. Contando, para cada vértice, o número de arestas que incidem sobre ele, e somando, tem-se novamente 2 vezes o número de arestas, já que cada aresta tem 2 vértices. Temos assim a fórmula geral
2A = 3V3 + 4V4 + 5V5 +... + Vn + ... onde Vn é o número de vértices em que incidem n arestas.
Problema 1. Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces triangulares em que o número de vértices é 3/5 do número de faces?
Problema 2. Na Copa do Mundo de 1970 o futebol começou a utilizar uma bola confeccionada com pentágonos e hexágonos (abaixo à esquerda). Esta bola foi inspirada em um poliedro descrito por
Arquimedes há mais de 2.200 anos: o icosaedro truncado (abaixo à direita). Ele é constituído de 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais. Quantos vértices possui esse poliedro que inspirou a confecção da bola? Atividades sobre Princípio de Cavalieri
Problema 3. Considerando o triângulo de vértices O=(0, 0), A=(3,0) e B=(0,3) da figura abaixo, encontrar a equação da curva c que junto com o gráfico da função y = f(x) = x², 0 ≤ x ≤ 3 , e o segmento ligando os pontos O=(0,0) e A=(3,0) delimitam uma região de área igual à área do triângulo.

Problema 4. Considere agora o prisma reto P que tem por base o triângulo da atividade anterior e altura h, e o sólido S com base na região plana F de lados curvos da atividade anterior e altura h (veja estes sólidos abaixo). Isto é, S é construído como reunião de todos os segmentos de