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Estas duas palavras existem na língua portuguesa e estão corretas. Porém, os seus significados são diferentes e devem ser usadas em situações diferentes. A palavra comprimento se refere ao tamanho de alguém ou alguma coisa, indicando uma extensão longitudinal, vertical ou temporal. A palavra cumprimento se refere a uma saudação e elogio (do verbo cumprimentar) ou ao ato de concluir alguma obrigação ou tarefa (do verbo cumprir). Pode ser ainda a forma conjugada do verbo cumprimentar na 1.ª pessoa do singular do presente do indicativo: eu cumprimento.

O substantivo comprimento é formado a partir de derivação sufixal, sendo acrescentado o sufixo –mento ao verbo antigo comprir: comprir + -mento. O sufixo –mento é um sufixo nominal que se junta a um verbo para originar um substantivo e indica uma ação ou o resultado de uma ação. Comprimento é sinônimo de extensão, distância, compridez, longitude, altura, tamanho, grandeza, duração, tempo, entre outros.

Exemplos:

O comprimento do tecido que eu comprei é de 3,50 metros.
Para calcular a área de um retângulo multiplicamos o comprimento pela largura.
O substantivo cumprimento pode ser também formado a partir de derivação sufixal, sendo acrescentado o sufixo –mento ao verbo cumprir: cumprir + -mento, ou pode ainda ter sua origem na palavra em latim complementu, pelo verbo complere, que significa completar, satisfazer, cumprir. Cumprimento é sinônimo de realização, execução, acatamento, obediência, observância, saudação, reverência, cortesia, elogio, felicitação, congratulação, entre outros.

Cumprimento é também a forma conjugada do verbo cumprimentar na 1.ª pessoa do singular do presente do indicativo. Todas as formas conjugadas do verbo cumprimentar deverão ser escritas com u na primeira sílaba.

Verbo cumprimentar – Presente do indicativo:
(Eu) cumprimento
(Tu) cumprimentas
(Ele) cumprimenta
(Nós) cumprimentamos
(Vós) cumprimentais
(Eles) cumprimentam

Exemplos:

Dê meus cumprimentos a seu avô.