asdfghjklçº

Actualizado em 2003-02-28
Inequações de grau superior a 2 (resolução analítica)

Pré-requisitos:
Dominar os conteúdos sobre a equação quadrática.
Saber aplicar a Fórmula Resolvente.
Saber aplicar a regra de Ruffini.
Saber factorizar funções Polinomiais.

No fim deste capítulo, é necessário saber:
Resolver analiticamente inequações do tipo a(x) k, k  
Resolver analiticamente inequações do tipo a(x) < b(x).

Exercícios resolvidos.

1 — É dada a função a(x) = -2x3 –8x2-14x+25.
Determine analiticamente o C.S. da condição a(x) < 5, usando pelo menos uma vez a Regra de Ruffini e a fórmula resolvente.

Resolução:

Podemos dividir a resolução deste tipo de questões nos seguintes passos:
1º passo: Escrever a condição e passar todos os termos para o 1º membro da inequação: a(x) < 5
 -2x3 – 8x2 – 14x + 25 < 5
 -2x3 – 8x2 – 14x + 25-5 < 0
 -2x3 – 8x2 – 14x + 20 < 0
2º passo: Com ajuda da máquina gráfica, tentar descobrir uma ou mais raízes
Observando o gráfico, podemos ver que uma das raízes é o valor “– 5”. Aliás, P( - 5) = 0.
3º passo: aplicar a Regra de Ruffini.

-2
-8
14
20
-5

10
-10
-20

-2
2
4
0
Donde concluimos que:
-2x3 – 8x2 – 14x + 20 < 0  (x + 5)( – 2x2 + 2x + 4)
Aplicando a Fórmula Resolvente à expressão “– 2x2 + 2x + 4”,

Factorizando:
-2x3 – 8x2 – 14x + 20 = -2 (x + 5)(x + 1)(x – 2)
Ou seja:
-2x3 – 8x2 – 14x + 20 < 0  -2 (x + 5)(x + 1)(x – 2) < 0
4º passo: Fazer o quadro de sinais:

–∞
-5

-1

2
+∞
-2
–
–
–
–
–
–
–
x + 5
–
0
+
+
+
+
+
x + 1
+
–
–
0
+
+
+
x - 2
–
–
–
–
–
0
+

+
0
–
0
+
0
–

Características do quadro:
Na 1º linha, as raízes são escritas obrigatoriamente por ordem crescente.
Na 1ª coluna, figuram os respectivos factores ( monómios, binómios ) da factorização.
À direita do valor “0” (zero) no corpo do quadro, figura sempre o sinal “+” e à esquerda figurará o sinal “-“, salvo nos casos em que o valor “x” do binómio tenha