AS VÁRIAS DEFINIÇÕES DE NÚMEROS COMPLEXOS

Sobre as v´arias defini¸c˜oes de n´umeros Complexos
Gentil Lopes da Silva
10 de fevereiro de 2010
Resumo
O objetivo deste trabalho ´e fazermos uma cr´ıtica (exegese) sobre as v´arias defini¸c˜oes de n´umeros complexos, existentes na literatura.
“. . . que o meu pensamento quis aproximar-se dos problemas do esp´ırito pela via de uma diversa experimenta¸c˜ao de car´ater abstrato, especulativo, resultante das conclus˜oes de processos l´ogicos da mais moderna f´ısico-matem´atica.”
(Pietro Ubaldi )
1 Introdu¸c˜ao
Como se sabe os conceitos dos entes (objetos) matem´aticos vieram evoluindo ao longo do tempo, como por exemplo o conceito de fun¸c˜ao (ver [5]). Enquanto o conceito (defini¸c˜ao) de fun¸c˜ao hoje encontra-se “fechado”; digo, perfeitamente compreendido, o mesmo n˜ao acontece com o importante conceito de n´umero, assim creio.
Neste artigo, n˜ao apenas estaremos mostrando que os matem´aticos ainda hoje trope¸cam no conceito de n´umero como tamb´em construiremos uma defini¸c˜ao
− de tal ente − a qual tem nos rendido bons dividendos; digo, uma defini¸c˜ao plenamente satisfat´oria.
2 Sobre os n´umeros complexos
Que os matem´aticos do s´eculo XVIII ainda n˜ao tinham uma compreens˜ao satisfat´oria do conceito de n´umeros − em particular o de n´umeros complexos ´e o que se depreende da cita¸c˜ao a seguir (ver [1]):
A ambivalˆencia dos matem´aticos do s´eculo XVIII em rela¸c˜ao aos n´umeros complexos pode mais uma vez ser evidenciada em Euler. Apesar de seus trabalhos em que ensinava a operar com eles, afirma “Como todos os n´umeros conceb´ıveis s˜ao maiores ou menores do que zero ou iguais a zero, fica ent˜ao claro que as ra´ızes quadradas de n´umeros negativos n˜ao podem ser inclu´ıdas entre os n´umeros poss´ıveis [n´umeros reais]. E esta circunstˆancia nos conduz ao conceito de tais n´umeros, os quais, por sua pr´opria natureza, s˜ao imposs´ıveis, e que s˜ao geralmente chamados de n´umeros imagin´arios, pois existem somente na