Areas Polares

ÁREAS EM COORDENADAS POLARES
Introdução
As coordenadas polares são usadas para representar pontos de um plano.
Para definir um sistema de coordenadas polares, consideramos um ponto O do plano (chamado origem ou pólo) e uma semi-reta orientada com extremidade O ( o eixo polar). Dado um ponto P  O do plano tomamos,

Dado um ponto qualquer do plano, as suas coordenadas polares não são únicas.
Exemplo 1: Representar graficamente os pontos de coordenadas polares

Como estes ângulos são côngruos temos P1 = P2 = P3

As coordenadas do pólo são (0,  ) para todo   R .
Tomamos também valores negativos para a coordenada r. Se r é negativo, o ponto de coordenadas polares (r,  ) é tal que (-r,  +  ) são também coordenadas deste ponto.

Exemplo 2: Representar graficamente o ponto de coordenadas polares

Suponhamos neste mesmo plano um par de eixos cartesianos XOY de modo que o semi-eixo OX positivo coincida com o eixo polar.
Se P é um ponto qualquer do plano de coordenadas polares (r,  ) e coordenadas cartesianas (x ,y) então: x = r.cos( ) y = r.sen( ) x2 + y2 = r2

Exemplo 3: Consideremos as curvas a seguir e suas equações em coordenadas polares
3.1) O círculo da raio ro e centro na origem tem equação polar r = ro

3.2) A reta que passa pela origem e faz um ângulo  o com o sentido positivo do eixo OX tem equação polar  =  o

Área de um setor circular
A área de um setor circular de raio r e ângulo central  é igual a:

Proposição 1: Seja a equação polar de uma curva dada pela função contínua r = r( para      tal que   2 e r  0. A área da região do plano limitada pelas retas de equações polares  = e  =  e a curva r = r( ) é igual a.

Demonstração.
Para todo  tal que      , seja A( ) a área como indicada na figura abaixo.
Vamos calcular

Para   > 0 , tomando-se no intervalo [  ,  +   ], rM e rm o maior e o menor raio, as áreas dos setores