area de superficie de revolução

Aula 9
Superfícies de Revolução
Seja C uma curva e r uma reta contidas num plano .
Fig. 1: Superfície de revolução S, geratriz C e eixo r contidos no plano 
A superfície de revolução S de geratriz C e eixo de revolução r é a superfície descrita pela rotação da curva C em torno da reta r.
A interseção de S com um plano 0 perpendicular à reta r, tal que 0\C 6= ? é, pela definição, um círculo ou um conjunto de círculos centrados no ponto em que a reta r corta o plano 0.
Estes círculos são denominados paralelos da superfície de revolução S.
Fig. 2: Superfície de revolução S e pontos P 2 S e P0 2 C no mesmo paralelo
Note que os pontos da geratriz C que pertencem ao eixo de revolução r permanecem fixos durante todo o movimento de rotação da curva C em torno de r. Neste caso, o paralelo que contém o ponto é um círculo degenerado que consiste apenas deste ponto.
A interseção de S com um plano que contém o eixo r é uma cópia rotacionada da geratriz C mais a reflexão desta cópia com respeito à reta r. Essas cópias de C são denominadas meridianos da superfície S.
Geometria Analítica II - Aula 9 196
Veremos agora como determinar a equação cartesiana de uma superfície de revolução S cuja geratriz é uma curva contida no plano YZ, descrita de forma implícita pelas equações:
C :
8<
: f(y; z) = 0 x = 0 :
Suponhamos primeiro que o eixo de revolução r é o eixo-OZ.
Pela definição, um ponto P = (x; y; z) pertence a S se, e só se, existe um ponto P0 = (0; y0; z0) pertencente a C tal que P e P0 estão sobre o mesmo paralelo.
Fig. 3: Superfície de revolução S e pontos P 2 S, P0 2 C no mesmo paralelo
Como o eixo-OZ é o eixo de revolução, este parelelo é um círculo contido no plano  perpendicular ao eixo-OZ que contém os pontos P e P0. Logo z = z0 e C = (0; 0; z) = (0; 0; z0) é o centro do paralelo, pois fCg =  \ r.
Fig. 4: Superfície de revolução S
Além disso, como P e P0 estão sobre um círculo de centro C, o raio deste círculo é d(P0;C) =