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ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 8
MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR
O objetivo deste capítulo é, dado uma transformação linear T : V → W , definir uma matriz que represente a transformação linear. Assim, ao invés de trabalharmos com a expressão da transformação, passaremos a trabalhar com sua representação matricial.
Sejam U e V dois espaços vetoriais, sobre o mesmo corpo dos ℜ, de dimensão n e m, respectivamente. Consideremos uma transformação linear

T : U → V . Dadas as bases

B = {u 1 , u 2 ,..., u n } de U e C = {v1 , v 2 ,..., v m } de V, então, os vetores T(u 1 ), T(u 2 ),..., T(u n ) estão em V. Logo, se escrevem como combinação linear da base C. Assim:

T(u 1 ) = a 11 v1 + a 21 v 2 + ... + a m1 v m
T(u ) = a v + a v + ... + a v

2
12 1
22 2 m2 m

....................................................

T(u n ) = a 1n v1 + a 2n v 2 + ... + a mn v m


Definição: A matriz mxn sobre ℜ, formada pelos escalares das combinações lineares acima, ou

 a 11

 a 21 seja, P = 
...

a
 m1

a 12 a 22
...
a m2

... a 1n 

... a 2 n 
, é chamada matriz da transformação linear T em
... ... 

... a mn 


B relação às bases B e C, cuja notação será P = [T ] C .

OBS: Note que, cada coluna da matriz P são as coordenadas dos vetores T(u 1 ), T(u 2 ),..., T(u n ) em relação a base C, ou seja:

 a 11 
 a 12 
 a 1n 






 a 21 
 a 22 
 a 2n 
[T(u 1 )] = 
, [T(u 2 )] = 
,..., [T(u n )] = 
... 
... 
... 






a 
a 
a 
 m1 
 m2 
 mn 
Exemplo (1): Seja T ( x , y, z) = ( x − y, x + 2z) uma transformação linear. Determine a matriz de T em relação a base canônica do ℜ3 e a base C = {(1,1), (1,−1)} do ℜ2.

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Solução: Seja B = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} a base canônica do ℜ3. Aplicando a transformação nos vetores da base B teremos:

T(1,0,0) = (1,1)

T(0,1,0) = (−1,0) . Escrevendo cada vetor como combinação linear