apostila

Apostila: Matrizes e Determinantes
Prof. André Luís Rossi de Oliveira

1 Matrizes
1.1 Conceitos Básicos
Chamamos de matriz a uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas.

Exemplos:
(1)

Considere a tabela abaixo:

Altura (metros)

Peso (quilos)

Idade (anos)

Pessoa 1

1,70

70

23

Pessoa 2

1,75

60

45

Pessoa 3

1,60

52

25

Pessoa 4

1,81

72

30

Ao abstraírmos os significados das linhas e colunas, obtemos a matriz
⎡1, 70
⎢1, 75
⎢
⎢1, 60
⎢
⎣1,81
(2)

70
60
52
72

23⎤
45⎥
⎥
25⎥
⎥
30 ⎦

Os elementos de uma matriz podem ser números, funções etc, como nas matrizes abaixo:
⎡ x2
1⎤
⎢
⎥
⎢ x 2⎥
⎢ x + 1 3⎥
⎣
⎦

[5

sen x −2]

⎡0⎤
⎢ e3 ⎥
⎢ ⎥
⎢3 x ⎥
⎣ ⎦

1

Representamos uma matriz de m linhas e n colunas por

Am×n

⎡ a11
⎢a
= ⎢ 21
⎢
⎢
⎢ am1
⎣

a12 a22 am 2

a1n ⎤ a2 n ⎥
⎥ = ⎡a ⎤ ,
⎥ ⎣ ij ⎦ m×n
⎥
amn ⎥
⎦

onde aij é o elemento característico da matriz, com i representando a linha e j, a coluna.
Definição: Duas matrizes Am×n = ⎡ aij ⎤
⎣ ⎦ m×n e Br×s = ⎡bij ⎤ r×s são iguais, ou seja, A = B , se elas
⎣ ⎦ têm o mesmo número de linhas ( m = r ) e colunas ( n = s ) e todos os seus elementos correspondentes são iguais ( aij = bij ).

Exemplo:
⎡ 22
⎢
⎢ 3
⎢ cos 900
⎢
⎣

ln1 sen 90o ⎤ ⎡ 4 0 1⎤
⎥
0
9 ⎥ = ⎢ 3 0 3⎥
⎢
⎥
−1
3 ⎥ ⎢ 0 −1 3 ⎥
⎦
⎥ ⎣
⎦

1.2 Tipos Especiais de Matrizes

Seja Am×n uma matriz com m linhas e n colunas. Alguns tipos importantes de matrizes são os seguintes:

(a)

Quadrada: É aquela cujo número de linhas é igual ao número de colunas
( m = n ).

⎡ 2 0 −9 ⎤
⎢ 4 −8 −7 ⎥
⎢
⎥
⎢ 2 8 6 ⎥ 3×3
⎣
⎦

[ 4]1×1

2

(b)

Nula: aij = 0 ∀i, j .

⎡0 0 ⎤
⎢0 0 ⎥
⎣
⎦

(c)

⎡0
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎣0

0
0
0
0

0
0
0
0

0⎤
0⎥
⎥
0⎥
⎥
0⎦

Coluna: n = 1 .
⎡1⎤
⎢4⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ −3⎦

⎡6⎤
⎢0⎥
⎢ ⎥
⎢ −8 ⎥
⎢ ⎥
⎣ −7 ⎦

Uma matriz coluna é chamada de vetor-coluna.

(d)

Linha: m = 1