Apostila Lugar Geométrico das Raízes

Capitulo IV: Método do Lugar Geométrico das Raízes
IV.1. Introdução
Considere o sistema em malha fechada mostrado abaixo

A função de transferência deste sistema é:
K A K P G ( s)
Y ( s)
=
R( s) 1 + K A K P G ( s)

(IV.1)

e a equação característica, cujas raízes são os pólos do sistema, é
1 + KAKPG(s) = 0 (IV.2) ⇒ os pólos de malha fechada dependem do ganho do amplificador KA.
W. R. Evans sugeriu que seja construído o local de todas as possíveis raízes da equação (IV.2) conforme KA varia de zero a infinito. Adicionalmente, ao estudarmos efeitos de pólos e zeros adicionais em um dado local, podemos examinar os efeitos de dinâmicas adicionais na malha. Assim, teremos uma ferramenta não apenas para seleção do ganho, mas também para projetos de compensação dinâmica.
Similarmente, podemos examinar os efeitos de mudanças nos parâmetros da planta para realizar um projeto de controle global melhor.
O gráfico de todas as possíveis raízes da equação (IV.2) é chamado de Lugar Geométrico das Raízes
(Root Locus), e a técnica de projeto é chamada de Método do Lugar das Raízes de Evans. Começaremos a mecânica de construção de um lugar geométrico das raízes, usando o ganho do amplificador com parâmetro.
Assumimos que KPG(s), a função de transferência do processo, é uma função racional com numerador
KPb(s), onde b(s) é um polinômio mônico de grau m, e denominador a(s) de grau n, onde n > m e b(s) = sm + b1sm –1 + …+ bn = (s – z1)(s – z2)…(s – zm) =

m

∏ (s − z ) i (IV.3)

i =1

n

a = sn + a1sn –1 + …+ an = ∏ ( s − p j ) j =1

Inicialmente, assumimos que KP é positivo e
K = KAKP

(IV.4)

O problema do lugar das raízes expressado na equação (IV.2) pode agora ser colocado de várias maneiras equivalentes e usuais. Cada uma das seguintes equações tem as mesmas raízes:
1 + KG(s) = 0,

(IV.5a)

b( s )
= 0, a( s)

(IV.5b)

a(s) + Kb(s) = 0

(IV.5c)

1+K

25

G(s) = −

1
K

(IV.5d)

Exemplo: Seja a função de