apostila de distribuicoes

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Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade:
Variáveis Aleatórias:
Uma variável é dita aleatória quando o valor da mesma é obtido através de observações ou experimentos, e a cada valor estiver associada certa probabilidade.
Denota-se uma variável por letra maiúscula e os valores assumidos por ela por letra minúscula. Uma variável é dita Discreta quando assume valores em pontos isolados ao longo de uma escala (nº finito ou infinito enumerável de valores).
Exemplo: Nº de alunos na sala
Uma variável é dita Contínua quando assume qualquer valor ao longo de um intervalo
(nº infinito não enumerável de valores).
Exemplo: Tempo, temperatura, peso, etc.
1.1. Distribuições Discretas de Probabilidade:
Seja X uma variável aleatória discreta e sejam x 1, x2, ... , xn os valores de X.
A função f(x) é uma distribuição de probabilidade (ou função de probabilidade) se:
(a) f(x)=P(X=x)  0,  x
(b)

n

 P( x )  1 i 1

i

Exemplo 1:
Determine a distribuição de probabilidade da variável aleatória X: ”Número de caras em dois lances de uma moeda equilibrada”.

]Parâmetros de uma v.a.d.:
1. Esperança:
Seja X uma variável aleatória discreta que pode assumir os valores x 1, x2, ... , xn , com probabilidades f(x1), f(x2), ..., f(xn), respectivamente. Então, a esperança de
X é dada por n E ( X )   xi . f ( xi ) i 0

Propriedades:

2
1. E(aX) = a.E(X)
2. E(X±a)=E(X)±a
3. E(X±Y)=E(X)±E(Y)
Exemplo 2: Cálculo de um valor esperado.
Jogam-se 5 moedas. Determine o valor esperado do número de “caras”.

2. Variância:
Seja X uma variável aleatória discreta cuja imagem é {x1, x2, ..., xm} com média
µ. A variância da v.a. X é dada por:
Var(X)= (𝑥1 − 𝜇)2 . 𝑃(𝑥1 ) + (𝑥2 − 𝜇)2 . 𝑃(𝑥2 ) + ⋯ + (𝑥𝑚 − 𝜇)2 . 𝑃(𝑥𝑚 )
Propriedades:
1. Var(aX)=a2.Var(X)
2. Var(X±a)=Var(X)
3. Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y), se X e Y são v.a. independentes.
Relação importante:
Var (X )  E (X 2 )  [E (X )]2 ,

onde E (X 2 ) 

n

x i 1

2 i .f (xi

)

3

3. Desvio Padrão:
O desvio padrão de X é dado