Apostila An Lise Matem Tica 2 Semestre

Professor Cícero José – Uniban 2011

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CAPÍTULO IV
Séries – Contexto Histórico
Zenão de Eléa (490 – 425 a.C.) escreveu um livro com 40 paradoxos1 relativos ao contínuo e ao infinito. Pelo menos quatro dos paradoxos influenciaram o desenvolvimento da matemática para explicar os fenômenos relevantes. Infelizmente, o livro não sobreviveu até os tempos modernos, assim conhecemos estes paradoxos a partir de outras fontes. Os paradoxos de Zenão sobre o movimento desconcertaram matemáticos por séculos. No final eles envolvem a soma de um número infinito de termos positivos a um número finito, o qual é a essência da convergência de uma série infinita de números. Vários matemáticos contribuíram para o entendimento das propriedades de sequências e séries. Este ensaio destaca as contribuições de alguns daqueles matemáticos que estudaram sequências e séries.
Um destes paradoxos é o de Aquiles e a tartaruga. Aquiles, o herói grego, e a tartaruga decidem apostar uma corrida de 100m. Como Aquiles é 10 vezes mais rápido que a tartaruga, esta recebe a vantagem de começar a corrida 80m na frente da linha de largada.
No intervalo de tempo em que Aquiles percorre os 80m que o separam da Tartaruga, esta percorre 8m e continua na frente de Aquiles.
No intervalo de tempo em que ele percorre mais 8m, a tartaruga já anda mais 0,8m... Dessa forma, não importa quanto tempo se passe, Aquiles nunca alcançará a tartaruga.
A solução clássica para esse paradoxo envolve a utilização do conceito de limite e convergência de séries numéricas.
O paradoxo surge ao supor intuitivamente que a soma de infinitos intervalos de tempo é infinita, de tal forma que seria necessário passar um tempo infinito para Aquiles alcançar a tartaruga.
No entanto, os infinitos intervalos de tempo descritos no paradoxo formam uma progressão geométrica e sua soma converge para um valor finito, em que Aquiles encontra a tartaruga. Na nossa simbologia, temos: 1 +

n
1
1
1
+
+ ... = 1 +
n.
10 100 i = 110

Zenão não foi o único