APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Blumenau, 11 de Junho de 2013
Trabalho de Cálculo II
APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
1. Decaimento Radioativo Através de experimentos, é mostrado que materiais radioativos desintegram à uma taxa proporcional à quantidade presente do material utilizado. Q=Q(t) é a quantidade de material radioativo presente em um certo tempo t. Desse modo, se X é o material radioativo e Q(t) é a quantidade presente no tempo t, a taxa de variação Q(t) com relação ao tempo t e descrita por dQ/dt é: dQ/dt=-cQ(t) sendo c uma constante positiva (c>0), atribuindo-se de forma diferente à cada elemento químico. Para determinar a quantidade inicial Q(0)=Q0 do material X, temos: . A meia-vida de um material, é o tempo que ele leva para se desintegrar à metade (Q(T)=1/2Qo). Assim, quando não conhecemos o material radioativo, pode-se determinar o valor da constante c, através da meia-vida dele. Tendo o conhecimento da meia-vida, pode-se obter a constante c e vice-versa. Exemplo: Um isótopo radioativo tem “meia vida” de 16 dias. Você quer ter 30 g no final de 30 dias. Quantos radioisótopos são necessaries inicialmente? Solução: Uma vez que a medida da meia-vida é dada em dias, o tempo também será dado em dias. Assim, será utilizado a equação para definir a quantidade presente no tempo (Q(t)) e a quantidade inicial (Q0). Se c é uma constante, será utilizado uma meia-vida T para encontrar c, tendo:

E também:

É obtido a quantidade inicial necessária:

2. Crescimento de Tumores A mitose, é o termo utilizado para definir a reprodução de organismos, ocorrendo assim, sua duplicação. Como as bactérias, que possuem sua taxa de crescimento proporcional ao volume de células divididas em seu corpo. Sendo V(t), o volume das células divididas em um tempo t, pode-se concluir que:

Onde c é uma constante positiva, a solução é:

Utilizando Vo como o volume inicial das células no tempo to. Assim, o volume de células divididas cresce exponencialmente com o tempo,