Aplicação do calculo na engenharia

Aplicação do calculo na Engenharia Elétrica

Introdução
Este texto apresenta definições de frequência de oscilação de um motor em (Hz), e o seu amortecimento. Oscilações e vibrações são comuns nos objetos que nos rodeiam, quer nas estruturas e máquinas que construímos, quer ao nível microscópico, nos átomos e nas moléculas. Na Física do Ensino de 3o grau você poderá compreender melhor o 'modelo' do oscilador harmônico, mas aqui vai um resumo 'rasante' desse magnífico modelo básico no mundo das oscilações.

Seja um sistema de segunda ordem definido pela função de transferência: G(s) = | Y(s) | = | b0 | | #A.1# | | X(s) | | s2 + a1s + a0 | | |

De modo similar ao do sistema de primeira ordem, as constantes dessa igualdade são redefinidas para indicar parâmetros físicos usuais. Assim, G(s) = | Y(s) | = K | ωn2 | | #A.2#. Onde: | | X(s) | | s2 + 2ζωns + ωn2 | | |

ωn : frequência natural de oscilação (sem amortecimento). ζ : fator de amortecimento.

Os polos são dados pelas raízes da equação característica,

s2 + 2ζωns + ωn2 = 0 #B.1#, que é uma equação comum do segundo grau. Assim,

p1, p2 = − ζωn ± ωn √(ζ2 − 1) #B.2#. | Figura 01 |
Da igualdade #B.2# conclui-se que os polos (ou raízes) podem ser números complexos ou reais, dependendo do valor de ζ em relação à unidade.

• Se 0 < ζ < 1, o sistema é dito subamortecido e as raízes são conjugados complexos dados por:

p1, p2 = − ζωn ± j ωn √(1 − ζ2) #C.1#.

Indicação gráfica na Figura 01 (a).

• Se ζ = 1, o sistema é dito criticamente amortecido e as raízes são reais e iguais conforme:

p1, p2 = − ζωn #C.2#.

• Se ζ > 1, o sistema é superamortecido e as raízes são reais e diferentes segundo a igualdade:

p1, p2 = − ζωn ± ωn √(ζ2 − 1) #C.3#.

A parte (b) da Figura 01 ilustra os dois últimos casos.

A resposta ao degrau unitário é obtida com x(t) = u(t). Assim, X(s) = 1/s. Substituindo em #A.2#, Y(s) = G(s) | 1 | = | ωn2 | | #D.1# |