Aplicando Álgebra Linear na Engenharia Civil

APLICANDO ÁLGEBRA LINEAR NA
ENGENHARIA: CONSTRUÇÃO DE
ESTRUTURAS METÁLICAS

RICARDO MARQUES SOUZA DE SÁ

ARACAJU
2014

CONSTRUÇÃO DE ESTRUTURAS METÁLICAS

Seja um guindaste que deve erguer cargas, assim, pode-se dizer que tem-se um problema de uma estrutura metálica na qual quer-se determinar o esforço mecânico em cada viga da estrutura, de forma que se possa escolher as vigas com a resistência adequada.

A partir do momento que se conhece a massa a ser suspensa e também o comprimento do braço deste guindaste, o cálculo das forças que incidem na estrutura torna-se imediato. Para que a estrutura permaneça em equilíbrio o somatório das forças em cada nó, de 1 a 6, deve ser nula tanto na direção horizontal como na direção vertical. Para tanto calcula-se a força exercida por cada viga nos nós, ou seja, calcula-se a força fij, que significa a força exercida sobre o nó i pela viga que liga o nó i ao nó j. Para exemplificar, toma-se o nó 2, que é afetado pelas vigas que o ligam aos nós 1,3 e 4. Suponha que θij representa o ângulo entre a viga (ij) e a vertical. Ou seja, no equilíbrio de forças, para o nó 2 tem-se as seguintes equações:

Constrói-se as demais equações do somatório das forças para cada um dos nós, ou seja, tem-se:

E por fim constrói-se a equação que representa a situação em que a estrutura, como um todo, não tem nenhuma aceleração horizontal, promovendo o equilíbrio:

Faz-se fij = -fij e assim, pode-se escrever as equações na forma matricial, isto é Af = F

Onde:

Assim:

Neste problema, não ter solução significaria que a estrutura correspondente não seria capaz de se manter em pé, e teria de ser trocada.
Se o problema agora fosse estrutura metálica da figura (3), trabalhar-se-ia de forma análoga, a nova configuração teria apenas ângulos diferentes.
Para uma mesma estrutura sujeita a forças