Análise harmônica

Aná lise Harmô nica
Objetivo
A análise harmônica é uma situação particular de um MMQ, que visa aproximar uma função (seja ela contínua ou dada por uma tabela de valores) por um polinômio trigonométrico, isto é, funções do tipo sen(kx) e cos(lx), k e l inteiros. Basicamente, estamos querendo projetar a função dada em um espaço vetorial gerado pelos vetores: {1, cos(x), sen(x), cos(2x), sen(2x), ..., cos(kx), sen(kx)}, sendo k a ordem do polinômio trigonométrico, que é o valor máximo que multiplica x (diminuindo seu período).

Prática: Se tivermos um produto interno conveniente, de forma que os vetores {1, sen(x), cos(x), ..., sen(kx), cos(kx)} sejam ortogonais, então teremos um sistema normal do tipo: 1,1 0 0 ⋮ 0 Que é uma matriz diagonal, que, pois, já está escalonada. Sendo assim, é fácil de resolver um sistema do tipo:
1,1 0 0 ⋮ 0 ⋯ , 0 ⋱ ⋯ 0 0 sen 2 , sen 2 0 0 0 0 0 ⋮ , cos ,1 , . ⋮ , ⋮ , cos 2

⋯ , 0 ⋱ ⋯

cos

0 0 , cos 0 0

cos

0 0 0 ⋮ , cos

cos

Já que precisamos apenas isolar a variável: 1 1,1 1 , 1 cos , cos ⋮ 1 cos , cos

⋮

Sendo o produto interno da linha correspondente. Note que o vetor x é o vetor de multiplicadores de 1, sen(x), cos(x)...cos(nx), em ordem, no polinômio!

Notas:
O produto o interno conveniente é: ,

Que, para a as funções trigonométric cas, garante a ortogonalida ade procurad da. Um interva alo bom é – , , ou 0, 2 . Note que nem sempre e os exercícios s serão dados s nesse interv valo, o que motivará uma m mudança de variáveis d de forma que e o intervalo p passe de [‐T, T T] para [‐ , .

Exemp plo:
Aproxime e a função f x Queremos apr Q roximar a função ao o lado, no inte ervalo destacado o, com polinô ômios trigonomé étricos. Para isso, definirem mos uma muda ança de variável p para um interv valo interessan nte, já que se en(x), cos(x) não o são ortogon nais nesse intervalo. Pa ara facilitar o o entendimento, vamos