Análise Combinatória

Sumário

Capítulo 06 – Análise Combinatória

1. Introdução
Em inúmeras situações do dia a dia, podemos nos deparar com problemas de contagem.
Por exemplo:

No Brasil, os veículos são emplacados com placas que são compostas por três letras e quatro números. Utilizando o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0 a 9, quantas placas diferentes podem ser confeccionadas?

De um baralho com 52 cartas, quantos jogos de 3 cartas podemos formar de modo que pelo menos uma delas seja um ás?

De quantas maneiras diferentes é possível escolher 6 números para preencher o volante do jogo da mega-sena?

2. Fatorial
Neste capítulo, você vai se deparar frequentemente com cálculos que envolvem produtos de números naturais consecutivos, tais como:
a)
b)
c)
Para facilitar a forma escrita de expressões desse tipo, criou-se um símbolo que denota o produto de números naturais consecutivos, o qual vamos definir desde já.
Definição
Seja n um número natural, tal que , chama-se fatorial de n e representa-se por n! o produto de todos os números naturais de n a 1. Isto é,
Para

Para , adota-se:

Assim, por exemplo,

É importante que você perceba que o desenvolvimento do fatorial pode ser “truncado” em qualquer fator. Veja o exemplo:

3. Princípio Fundamental da Contagem
Vamos iniciar os estudos da Análise Combinatória apresentando um princípio de contagem conhecido como princípio fundamental da contagem ou regra do produto.
Se um evento depende de duas ou mais etapas independentes, a quantidade de ocorrências é o produto das etapas intermediárias.
Para tanto considere os seguintes problemas.
Quantos números naturais de três algarismos podem ser formados com os algarismos 2, 3, 4, 5 e 6?
Resolução
Deve-se preencher cada uma das casas seguintes:

O número de possibilidades para cada casa é 5.

Pelo princípio fundamental da contagem, pode-se preencher a 1ª e a 2ª e a 3ª casa de maneiras diferentes. Portanto, é possível