Analise numerica

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
DPTO. DE ENGENHARIA QUÍMICA
GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA QUÍMICA

ANÁLISE NUMÉRICA EM ENGENHARIA QUÍMICA
TRABALHO 11 DERIVAÇÃO NUMÉRICA
Andrea Parente Lima 0320946

OBJETIVO:
Determinar resoluções numéricas para derivadas de primeira, segunda, e demais ordens, além de derivadas parciais.

INTRODUÇÃO:

Acontece frequentemente sermos confrontados com a necessidade de determinar valores da derivada de uma função num conjunto de pontos conhecendo o valor da função apenas nesses pontos. Na impossibilidade de obter esses valores de forma exata, vamos considerar a sua aproximação através do valor da derivada do polinômio interpolador da função nos referidos pontos. É possível utilizar um método numérico, baseado na série de Taylor, para se resolver as derivadas.

DESENVOLVIMENTO:

A série de Taylor é uma série de funções caracterizada da seguinte maneira:

onde

Desenvolvendo o somatório, obtemos:

Reescrevendo a série com um passo h, temos:
- Equação da derivada - avante

- Equação da derivada - ré - Equação central (média aritmética das expressões anteriores): Para obter resultados mais precisos, trunca-se a série no quinto termo: Analogamente, pode-se fazer o mesmo para encontrar a derivada segunda:
Truncada em três termos (menos precisa):

Problema: Determinar as derivadas apresentadas abaixo utilizando os métodos numéricos.

Para a primeira equação calculamos a derivada de primeira ordem para a função f(x) = sen²x, com x=2, tendo valores de h variando de 1,0 a 0,000001, obteve-se o seguinte resultado, como apresentado na Tabela 01, além dos valores de erro, apresentados na Tabela 01.

Tabela 01 – Cálculo da derivada primeira pelos três métodos estudados e para diferentes valores de h.
O resultado dessa derivada, calculado analiticamente, igual a -0,7568 pode-se concluir que o método foi bastante eficaz. A diminuição de h os