analise geometrica

Cap´tulo 1 ı Topologia do espaco Euclidiano
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O espaco vetorial Rn
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Seja n ∈ N. O espaco euclidiano n− dimensional e o produto cartesiano de n fatores
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iguais a R:
Rn = R × R × · · · × R
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n copias

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Os pontos de Rn sao as n−listas x = (x1 , . . . , xn ), cujas coordenadas x1 , . . . , xn sao numeros reais.
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Dados x = (x1 , . . . , xn ) , y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn e um numero real λ, definimos a soma x + y
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e o produto λx pondo: x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn )

λx = (λx1 , . . . , λxn ) .

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Com estas operacoes, Rn e um espaco vetorial de dimensao n sobre R, no qual
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0 = (0, . . . , 0) e o elemento neutro para a adicao e −x = (−x1 , . . . , −xn ) e o simetrico de
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x = (x1 , . . . , xn ).
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No espaco vetorial Rn , destaca-se a base canonica {e1 , . . . , en } formada pelos vetores
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e1 = (1, 0, . . . , 0) , e2 = (0, 1, . . . , 0) , . . . , en = (0, 0, . . . , 1), que tem uma coordenada igual a 1 e as outras nulas. Para todo x = (x1 , . . . , xn ) temos: x = x 1 e1 + x 2 e2 + . . . + x n en .
• Sejam L(Rm , Rn ) o conjunto das transformacoes lineares T : Rm −→ Rn e M(n × m) o
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conjunto das matrizes reais A = (aij ) com n linhas e m colunas.
• Existe uma bijecao natural entre L(Rm , Rn ) e M(n × m).
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Analise

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De fato, dada T ∈ L(Rm , Rn ), seja AT = (aij ) a matriz cuja j−esima coluna e o vetor coluna
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(Tej )t , onde {e1 , . . . , em } e a base canonica de Rm , ou seja, a matriz AT = (aij ) e definida pelas igualdades n

aij ei ,

Tej =

j = 1, . . . , m ,

i=1

´
ˆ
onde {e1 , . . . , en } e a base canonica de Rn .
Reciprocamente, dada A ∈ M(n × m), seja TA ∈ L(Rm , Rn ) definida por m TA (x) =

m

a1j xj , . . . , j=1 anj xj

.

j=1

Como TA (ej ) = (a1j , . . . , anj ), temos que a aplicacao
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m n Φ : L(R , R ) −→ M(n × m)
T −→ AT
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e sobrejetora.
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Alem disso, Φ e injetora, pois se Φ(T ) = Φ(L), entao T