Analise de Fourier de Sinais em Tempo Discreto

Análise de Fourier de Sinais em Tempo Discreto:
Transformada de Fourier de Tempo Discreto (TFTD ou DTFT)
Alunos: Cristiano Felix, Hediman Alves, Laeny Layara, Matheus P. Dutra e Otávio Nunes

Representação de um sinal não periódico pela Integral de Fourier


O procedimento é conceitualmente idêntico ao utilizado em sinais contínuos no tempo;



Aplicando limite, pode-se mostrar que um sinal não periódico x[n] pode ser descrito pela soma contínua de exponenciais de duração infinita.



Repesentação de um sinal não periódico x[n] por sinais exponeciais de duração infinita:


Novo sinal periódico xN0[n];



N0 ≥ 2N + 1;



xN [n] pode ser representado pela série exponencial de Fourier;
0

Representação de um sinal não periódico pela
Integral de Fourier

Sinal x[n] (não periódico)

Sinal xN [n] (periódico)
0

Representação de um sinal não periódico pela Integral de Fourier


Para

, o sinal x[n] se repetirá após um intervalo infinito e, portanto



Série exponencial de Fourier para xN [n]:



A natureza do espectro muda quando N0 aumenta;

0

Representação de um sinal não periódico pela Integral de Fourier


Definindo X(Ω) (função contínua):



Logo:

(dobrando sucessivamente)

Representação de um sinal não periódico pela Integral de Fourier


O espectro se torna tão denso que parece contínuo.

Representação de um sinal não periódico pela Integral de Fourier

Substituindo Ω0 por ∆Ω, temos:

Representação de um sinal não periódico pela Integral de Fourier

Substituindo r por N0, temos a integral:

Integral de Fourier

Representação de um sinal não periódico pela Integral de Fourier


Como já visto, o espectro X(Ω) é dado por:



X(Ω) é a transformada de Fourier no tempo discreto de x[n]



x[n] é a transformada inversa de Fourier no tempo discreto de X(Ω)



x[n] e X(Ω) são um par transformada de Fourier:



X(Ω) é a descrição no domínio da frequência de x[n].

Representação de um sinal não periódico pela Integral de Fourier


Exemplo –