Aluno

UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
LINCENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Professora: Isolda Giani de Lima

PRÁTICA PEDAGÓGICA 3

Método de Integração por
Substituição Trigonométrica

BRUNA TIZATTO
ELAINE TONIETTO

Caxias do Sul
2008

1

Método de Integração por Substituição Trigonométrica
Este método pode ser utilizado no cálculo de integrais que contêm radicais, realizado através de substituições envolvendo funções trigonométricas. Como exemplo, podemos citar a fórmula do disco da prática 1 que era: ∫ a 2 − x 2 . Para resolvê-la tivemos que recorrer a uma fórmula do livro.
Iremos nos ocupar com integrais que contêm as expressões da forma

∫ a2 − x2

∫ a2 + x2

∫ x2 − a2

constante - parte variável constante + parte variável parte variável - constante

nas quais a é uma constante positiva. A idéia básica de tais integrais é fazer uma substituição para x que elimine o radical. Para isto iremos utilizar as relações trigonométricas.
Relação Fundamental da Trigonometria sin θ + cos θ = 1 − − >
2

2

1 − sin 2 θ = cos 2 θ
1 − cos 2 θ = sin 2 θ

Relação Secundária
1 + tan 2 θ = sec 2 θ sec 2 θ − 1 = tan 2 θ

Idéia do método
A idéia desse método é fazer as seguintes subtituições:
1 − sin 2 θ = cos 2 θ

∫ a2 − x2

substituir por

∫ a2 + x2

substituir por 1 + tan 2 θ = sec 2 θ

∫ x2 − a2

sustituir por

1 − cos 2 θ = sin 2 θ

sec 2 θ − 1 = tan 2 θ

Por exemplo, para eliminar o radical da expressão a 2 − x 2 podemos fazer a substituição x = a sin θ .
Então,
a − x2 =
2

a 2 − a sin θ 2 =

a 2 − a 2 sin 2 θ =

a 2 1 − sin 2 θ = a cos 2 θ = a. cos θ

2

Exemplos:
Exemplo 1: ∫

3
−3

9 − x 2 dx

Primeiro vamos calcular a integral indefinida.
Podemos observar que esta integral é do tipo: ∫ a 2 − x 2 , ou seja, constante menos parte variável. Sendo assim, devemos