Alguns exercícios de vetor (resolvidos).

Resolu¸˜o de alguns exerc´ ca ıcios da Quinta Lista de Exerc´ ıcios de GAV
Nos exerc´ ıcios a seguir E = {e1 , e2 , e3 } ´ uma base ortonormal. e 2. Sendo u = (1, 4, 1)E e v = (0, 1, −8)E calcule:
(a) u · 0.
Solu¸˜o:
ca u · 0 = 1.0 + 4.0 + 1.0 = 0
(e) v · u.
Solu¸˜o:
ca v · u = 0.1 + 1.4 + (−8).1 = 0 + 4 − 8 = −4
(f) ||u||.
Solu¸˜o:
ca
||u|| =

√

12 + 42 + 12 =

√
√
√
1 + 16 + 1 = 18 = 3 2

(i) (u − v) · (u + v).
Solu¸˜o: Temos ca (u − v) = (1, 4, 1) − (0, 1, −8) = (1, 3, 9) e (u + v) = (1, 4, 1) + (0, 1, −8) = (1, 5, −7).
Logo,
(u − v) · (u + v) = (1, 3, 9) · (1, 5, −7) = 1 + 15 + (−63) = −47.

9. Sendo u e v vetores n˜o paralelos, e ||v|| = 2||u|| mostre que 2u + v e 2u − v s˜o ortogonais. a a
Solu¸˜o: Se o produto escalar entre os vetores 2u + v e 2u − v for igual a 0, ent˜o eles s˜o ca a a ortogonais.
Temos
(2u +v) · (2u − v) = (2u +v) · 2u − (2u +v) ·v = 2u · 2u +2v ·u − 2u · v −v · v

(v·u=u·v)

Por hip´tese, ||v|| = 2||u||, logo o ||2u||2 − ||v||2 = ||2u||2 − (2||u||)2 = 4||u||2 − 4||u||2 = 0.

Logo,
(2u + v) · (2u − v) = 0 e portanto 2u + v e 2u − v s˜o ortogonais. a 1

=

||2u||2 −||v||2

11. Dados u e v, calcule a proje¸ao ortogonal de v sobre u, e decomponha v como soma de dois c˜ vetores, um paralelo a u e o outro ortogonal a u nos seguintes casos:
(a) v = (4, 10, 10)E e u = (1, 1, 4)E ;
Solu¸˜o: Temos ca ||u||2 = 12 + 12 + 42 = 18 e v · u = 4.1 + 10.1 + 10.4 = 54.
Assim,
proju v =

v·u
54
u = u = 3(1, 1, 4) = (3, 3, 12)E .
2
||u||
18

Queremos v = p + q, sendo p paralelo a u e q ortogonal a u.
Logo, p = proju v = (3, 3, 12)E e q = v − p = (4, 10, 10) − (3, 3, 12) = (1, 7, −2)E
12. Decomponha o vetor w = (−1, −3, 2) como soma de dois vetores w1 e w2 , com w1 paralelo ao vetor v = (0, 1, 3)E e w2 ortogonal ao vetor v = (0, 1, 3)E .
Solu¸˜o: Vamos escrever o vetor w = (−1, −3, 2)E como a soma de w1 e w2 tais que w1 ca com v = (0, 1, 3)E .

v

Para isso,