Algoritimos

COLÉGIO PEDRO II - UERJ – 2012
(Professor Walter Tadeu – www.professorwaltertadeu.mat.br)

ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA – PARTE 2 - GABARITO

1) Uma roleta após ser girada pode parar, ao acaso, em apenas oito posições distintas. Uma seta indica o número correspondente a cada posição, como ilustra a figura ao lado.
João girou a roleta duas vezes consecutivas e anotou os números indicados pela seta após cada parada. Calcule a probabilidade de a soma desses números ser par.

Solução. Há dois algarismos 1, quatro algarismos 3 e dois algarismos 2, num total de oito algarismos. Para que a soma seja par, é necessário que os dois resultados sejam ímpares ou pares. Como cada giro independente do outro os eventos são independentes. Temos:

[pic].

2) Um sistema de numeração de base b, sendo b ≥ 2, utiliza b algarismos: 0, 1, 2, 3, ..., b-1. O sistema de numeração usual é o decimal. Quando escrevemos um número nesse sistema, a base 10 não precisa ser indicada. Por exemplo, o número 3548 corresponde a 3 × 103 + 5 × 102 + 4 × 101 + 8 × 100. Em qualquer outro sistema, é preciso indicar a base.
Por exemplo, o número (2043)5 está escrito na base b = 5 e corresponde a 2 × 53 + 0 × 52 + 4 × 51 + 3 × 50, ou seja, 273 no sistema decimal.

a) Sabe-se que, em qualquer base, o acréscimo de zeros à esquerda da representação de um número não altera seu valor. Os números (301)7 e (0301)7 são, portanto, iguais e formados por três algarismos. Calcule, no sistema de numeração de base 7, a quantidade total de números que possuem somente quatro algarismos distintos.

Solução. No sistema de numeração de base 7 os algarismos são {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, isto é, os restos possíveis na divisão por 7. Como não se considera zero à esquerda as possibilidades iniciam com seis algarismos:

[pic]. Logo há 720 números distintos.

b) Admita a possibilidade de contar objetos de duas maneiras, uma na base x e outra na base (x + 3). Ao empregar essas duas maneiras para contar um determinado grupo de objetos,