Algebra

Espaço vetorial
Conceito de espaço vetorial
Seja K um corpo e V um conjunto não vazio, onde definimos duas operações, sendo uma a adição de vetores e a outra a multiplicação de um elemento do corpo K por um elemento de V. Sejam v e w dois elementos de V e k um elemento do corpo K. Denotaremos a adição de v e w por v + w e a multiplicação de k e v por kv. O conjunto V, com essas operações é denominado de espaço vetorial sobre o corpo K se, para todo u, v, w de
V e todo α, β de K, se verificarem as propriedades
1. Comutativa: v + w = w + v.
2. Associativa: (u + v) + w = u + (v + w).
3. Elemento neutro: Existe um elemento de V denotado por 0 tal que 0+v = v+0 = v.
4. Elemento oposto: Dado v em V existe um elemento denotado por −v e tal que v + (−v) = (−v) + v = 0.
5. Associatividade: (αβ)v = α(βv).
6. Distributividade: (α + β)v = αv + βv.
7. Distributividade: α(v + w) = αv + αw.
8. Elemento unitário: A multiplicação do elemento unitário 1 de K pelo elemento v de V é igual a v, isto é, 1v = v.
Os elementos de V são chamados vetores e os elementos de K de escalares. O elemento v + w é o vetor soma de v com w e o elemento αv é o produto de α por v ou ainda que αv é um múltiplo de v. O vetor −v é denominado oposto de v e 0 é o vetor nulo ou vetor zero. Definimos a diferença v − w (leia-se v menos w) entre os vetores v e w por v + (−w).
Em nosso curso, o corpo K será o corpo R dos números reais ou o corpo C dos números complexos. Quando V for um espaço vetorial sobre o corpo dos números reais, diremos que V é um espaço vetorial real. Quando V for um espaço vetorial sobre o corpo dos números complexos, diremos que V é um espaço vetorial complexo.
Quando se diz que V é um espaço vetorial sobre o corpo K entenda-se que está implícito a existência das operações de adição de vetores e multiplicação de um escalar por um vetor. Quando o contexto permitir, omite-se a referência ao corpo K e se diz apenas que V é um espaço vetorial. O espaço vetorial {0}