Algebra

Cap´ ıtulo 1

Matrizes, Determinantes
1a L i¸ ˜o (c o m p ro jeto r m u ltim ed ia )13/ 03/ 2007 ca 1.1

T eoria G eral d e Matrizes

Defini¸˜o 1. Uma matriz d e ” m” lin h as e ca  a11 a12 a13 ·
 a
 21 a22 a23 ·

Am×n =  ·
·
·
·

 ·
·
·
·
am1 am2 am3 ·

” n ” co lu n as ´ d ad a p o r: e 
· · a1n
· · a2n 


· ·
·  = [aij ]m×n

· ·
· 
· · amn

T ip os E sp eciais d e m atriz es
Defini¸˜o 2 (M a triz Q u a d ra d a ). Q u an d o m= n . ca E x em p lo 1.
A3×3



1 −2
= 3 0
4 5


3
1 
6

e
D izemo s q u e A3×3 ´ d e o rd em 3 . E m g eral, se temo s u ma matriz An×n d izemo s q u e ´ d e o rd em n , d en o tamo s p o r An . e Defini¸˜o 3 (M a triz Nu la o u Z ero ). S e aij = 0, ∀i = 1, 2, ..., m, ∀j = 1, 2, ..., n. ca Defini¸˜o 4 (M a triz C o lu n a ). S e p o ssu i u ma u n ica co lu n a, o u seja n = 1 . ca ´
E x em p lo 2 .



1
 −4  = A3×1
3
1

2

CAP´
ITULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES

Defini¸˜o 5 (M a triz L in h a ). S e m= 1 . ca E x em p lo 3 .
3

0 −1

= A1×3

´
Defini¸˜o 6 (M a triz D ia g o n a l). E u ma matriz q u ad rad a, o n d e ca aij = 0, p ara i = j.
E x em p lo 4 .


7
 0
0


0 0
1 0 
0 −1 3×3

´
Defini¸˜o 7 (M a triz Id en tid a d e). E d efi n id a p o r aii = 1, e aij = 0, p ara i = j. ca E x em p lo 5 .


1
I3 =  0
0

0
1
0


0
0 
1 3×3

´
Defini¸˜o 8 (M a triz T ria n g u la r S u p erio r). E u ma matriz q u ad rad a tal q u e ca aij = 0, p ara i > j.
E x em p lo 6 .


2 −2
 0 1
0 0


0
3 
5 3×3

´
Defini¸˜o 9 (M a triz T ria n g u la r In ferio r). E u ma matriz q u ad rad a tal q u e ca aij = 0, p ara i < j.
E x em p lo 7 .


2
 7
−1


0 0
1 0 
0 5 3×3

´
Defini¸˜o 10 (M a triz S im ´ tric a ). E aq u ela matriz q u ad rad a q u e v erifi ca ca e aij = aji .
E x em p lo 8 .


2 −1
 −1 1
1
0


1
0 
5 3×3

3

1.1. TEORIA G ERAL DE