algebra

ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
ALGEBRA LINEAR

MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Professor: Reinaldo Aparecido Tenório

Sumaré
/06/2011

Equações Lineares e sistemas de equações lineares

É todo conjunto m equações lineares e n incógnitas, da forma

- x1, x2, ...,xn são incógnitas

- aij são os coeficientes

- bi são os termos independentes

Se bi =0 o sistema é homogêneo

Classificação

Um sistemalinear pode ser:

Possível { Determinado (solução única).

Indeterminado (infinitas soluções)}.

Impossível – Não admite solução.

Um sistema homogêneo nunca será impossível, pois admitirá pelo menos a solução trivial ( 0, 0, ..., 0).

Regra de Cramer

Qualquer sistema em que m = n e D 0 (determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas) é possível e determinado.

A solução é única e dada por:

Sistema Escalonado

É todo sistema no qual:

a) as incógnitas dasequações lineares estão escritas numa mesma ordem;

b) em cada equação há pelo menos um coeficiente não nulo;

c) o número de coeficientes nulos aumenta de equação para equação.

Exemplo:

Metodo de Gauss Jordan

O método de Gauss-Jordan para resolver o sistema AX=B consiste em:
1. formar a matriz aumentada Ã=(A|B) pela concatenação da coluna correspondente ao 2o membro;
2. efetuar operações elementares à ->Ã1->...->Ãu=(A'|B') de maneira que o bloco A' correspondente a Aem Ãu esteja na forma escada;
3. se para alguma linha nula de A' a correspondente em B' for não nula, então o sistema é impossível; caso contrário,
4. a solução geral do sistema se escreve explicitando as variáveis correspondentes aos pivos em função das demais variáveis e do 2o membro B'.
Por exemplo, se os pivos de A' ocorem nas p primeiras colunas, escrevemos (B1-A'1 p+1xp+1-A'1 p+2xp+2 -...--A'1nxn ) (B2-A'2 p+1xp+1-A'2 p+1xp+2 [continua]ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
ALGEBRA LINEAR